Infimum/Supremum < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:37 Mi 06.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Betrachte die folgenden Mengen:
A= {n + [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] | n [mm] \in \IN \setminus [/mm] {0} } [mm] \subset \IQ
[/mm]
B= {x [mm] \in \IQ [/mm] | |x|< 2} [mm] \subset \IQ
[/mm]
C= {x [mm] \in \IQ [/mm] | [mm] x^{2}< [/mm] 2} [mm] \subset \IQ
[/mm]
D= {sin [mm] (\bruch{n\pi}{3}) [/mm] | n [mm] \in \IN [/mm] } [mm] \subset \IR
[/mm]
Gebe für jede der Mengen eine obere/ untere Schranke an oder zeige, dass die Menge nicht von oben/ unten beschränkt ist.
Prüfe für jede der 4 Mengen, ob sie ein Infimum/Supremum besitzt, falls ja, bestimme es. Ist das Supremum/Infimum auch ein Maximum/Minimum? |
Hallo,
bräuchte dringend eure Hilfe für diese Aufgabe, wäre euch sehr dankbar.
Also generell hab ich keine Probleme damit das Infimum/Supremum zu bestimmen: Für A wäre das Infimum 0 (gleichzeitig Minimum) und nach oben wäre die Menge unbeschränkt. Für B wäre das Supremum 2, das Infimum -2 , jedoch weder Maximum noch Minimum und die Menge wär beschränkt. C ist ebenfalls beschränkt, hat aber weder Supremum noch Infimum, da dieses mit [mm] \pm \wurzel{2} [/mm] nicht in den rationalen Zahlen liegt. D hat ein Supremum bei entweder sin [mm] ((\bruch{\pi}{3})+ 2n\pi) [/mm] oder bei sin [mm] ((\bruch{2\pi}{3})+ 2n\pi) [/mm] und das Infimum bei entweder sin [mm] ((\bruch{4\pi}{3})+ 2n\pi) [/mm] oder sin [mm] ((\bruch{5\pi}{3})+ 2n\pi) [/mm] und Infimum und Supremum sind gleichzeitig Minimum und Maximum.
Die große Frage is jetzt aber: Wie beweise ich das Ganze, ich mein es ist klar, dass ich um z.z. dass etwas Supremum ist, zeigen muss: 1. es ist eine obere Schranke, 2. es gibt keine kleinere obere Schranke (indem ich annehme, es gibt eine obere Schranke, die kleiner als mein gefundenes Supremum und dies zum Widerspruch führe), die Frage ist nur wie ich das zeigen soll bzw. kann. Ich bin da bisher ziemlich ratlos.
Vielen Dank für jede Hilfe schon im Voraus!
MfG ms2008de
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Fr 08.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hat sich erledigt, habs doch noch hinbekommen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Mo 01.06.2009 | | Autor: | notinX |
> Hat sich erledigt, habs doch noch hinbekommen
möchtest Du vielleicht mich (und eventuell auch andere) an Deinem Ergebnis teilhaben lassen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Mo 01.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Welches Ergebnis meinst denn konkret, ich mein die Behauptungen stehen ja so gut wie alle da, von daher...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Mo 01.06.2009 | | Autor: | notinX |
Ich meine die Beweise. Die Behauptungen hätte ich auch aufstellen können. Mir fällt nur das Beweisen immer sehr schwer...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Mo 01.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Erst mal zeig deine eigenen Ansätze, dann helf ich dir auch gern weiter.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 22:37 Mo 01.06.2009 | | Autor: | notinX |
Ich habe keine Ansätze, da ich keine Ahnung habe wie man sowas beweist.
|
|
|
| |
|
> Ich habe keine Ansätze, da ich keine Ahnung habe wie man
> sowas beweist.
Hallo,
ich finde Deinen eigenen Beitrag an dieser Stelle sehr sparsam.
Zumindest würde ich erwarten, daß Du erzählst, welche Elemente in dem Mengen sind,
und daß Du Deine eigenen Behauptungen, die Du beweisen möchtest, im Klartext aufschreibst.
Vielleicht kannst Du sogar schon in Worten erklären, wie Du zu diesen Behauptungen gekommen bist.
Weiter sind zum Beweisen natürlich unbedingt die Definitionen der verwendeten Begriffe nötig.
Falls es in den Begriffen Unverstandenes gibt, kannst Du gleich nachfragen.
Hier benötigen wir: obere/untere Schranke, Supremum/Infimum, Minimum/Maximum.
Ohne daß diese vorliegen, braucht man keinen Beweis zu beginnen.
Das Aufschreiben ist gut investierte Zeit: es entschleunigt den Lesevorgang.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:11 Di 02.06.2009 | | Autor: | notinX |
Ich fange mal mit der Menge A an. Wenn ich das Prinzip verstanden habe, kann ich die anderen vielleicht alleine lösen.
[mm] A:=\{n+\frac{(-1)^n}{n}\quad |\quad n\in \mathbb N \textbackslash \{0\}\}\subset \mathbb{Q}
[/mm]
Durch Einsetzen der ersten 4-5 Zahlen habe ich herausgefunden, dass 0 untere Schranke ist und die Menge nach oben unbeschränkt, da sie für große n immer größer wird. 0 ist kleinste obere Schranke, da es kein n gibt, für das gilt: [mm] n+\frac{(-1)^n}{n}<0 [/mm] (d.h kein Element der Menge ist kleiner als 0). Da [mm] n+\frac{(-1)^n}{n}\geq [/mm] 0 und [mm] 0\in\mathbb{Q} [/mm] ist 0 auch Minimum (weil 0 ind der Menge [mm] \mathbb{Q} [/mm] liegt).
Definitionen:
-Schranken: Sei X eine geordnete Menge (geordnet bedeutet, dass die Elemente beispielsweise druch ein [mm] \geq [/mm] oder ähnlich sortiert werden oder?) und [mm] M\subseteq [/mm] X. Falls es ein [mm] S\in [/mm] X gibt mit [mm] x\geq [/mm] S für alle [mm] x\in [/mm] M, so heißt S untere Schranke für M in X.
-Infimum/Minimum: Sei X eine geordnete Menge und M nach unten beschränkt. [mm] M\subseteq [/mm] X, Es existiert [mm] S\in [/mm] X mit:
(i) S ist untere Schranke von M
(ii) Ist T>S, so ist T keine obere Schranke von M
Dann ist S Infimum von M in X, S:=infM.
Falls [mm] S\inM, [/mm] so ist S auch Minimum von M, S:=minM
|
|
|
| |
|
> Ich fange mal mit der Menge A an. Wenn ich das Prinzip
> verstanden habe, kann ich die anderen vielleicht alleine
> lösen.
> [mm]A:=\{n+\frac{(-1)^n}{n}\quad |\quad n\in \mathbb N \textbackslash \{0\}\}\subset \mathbb{Q}[/mm]
>
> Durch Einsetzen der ersten 4-5 Zahlen habe ich
> herausgefunden, dass 0 untere Schranke ist und die Menge
> nach oben unbeschränkt, da sie für große n immer größer
> wird.
Hallo,
ja genau, erstmal verschafft man sich experimentierend einen Überblick über die Menge.
Auf dem Zettel, den man abgibt, kommt dies gar nicht unbedingt mehr vor, aber als Vorarbeit ist es unerläßlich.
Ich schreib's zur Ergänzung mal aufzählend auf: [mm] A=\{ 0, 2+\bruch{1}{2}, 3-\bruch{1}{3}, 4+\bruch{1}{4}, 5-\bruch{1}{5}, ...\}
[/mm]
> 0 ist kleinste obere größte untere Schranke, da es kein n gibt, für
> das gilt: [mm]n+\frac{(-1)^n}{n}<0[/mm] (d.h kein Element der Menge
> ist kleiner als 0).
Die Überlegungen sind in Ordnung, wir beweisen den Sachverhalt jetzt genau:
Gezeigt werden soll: 0 ist das Infimum von A.
Hierzu zu zeigen:
1. 0 ist eine untere Schranke.
2. Jedes T, welches größer als 0 ist, ist keine untere Schranke.
Zu 1.
Sei [mm] x\in [/mm] A. Dann gibt es ein [mm] n\in \IN [/mm] mit [mm] x=n+\frac{(-1)^n}{n}.
[/mm]
Für gerades n ist natürlich [mm] x=n+\frac{(-1)^n}{n}=n+\frac{1}{n}>0.
[/mm]
Für ungerades n haben wir [mm] x=x=n+\frac{(-1)^n}{n}=\frac{n^2-1}{n} \ge [/mm] 0.
Insgesamt stellen wir fest: für alle [mm] x\in [/mm] A gilt: x>0, und damit ist 0 eine untere Schranke von A.
zu 2. Es sei T>0.
Es ist [mm] 1+\frac{(-1)^1}{1}=0\in [/mm] A, und somit haben wir ein Element der Menge A gefunden, welches kleiner ist als T. Folglich ist jedes T, welches größer ist als die zuvor ermittelte untere Schranke 0 keine untere Schranke von A.
Somit ist 0 die größte untere Schranke von A.
> Da [mm]n+\frac{(-1)^n}{n}\geq[/mm] 0 und
> [mm]0\in\mathbb{Q}[/mm] ist 0 auch Minimum (weil 0 ind der Menge
> [mm]\mathbb{Q}[/mm] liegt).
Es kommt fürs Minimum darauf an, daß die 0 in der Menge liegt, also in A.
Zum Minimum:
0 ist untere Schranke von A und liegt in der Menge, also ist 0 das Minimum der Menge.
>
> Definitionen:
> -Schranken: Sei X eine geordnete Menge (geordnet bedeutet,
> dass die Elemente beispielsweise druch ein [mm]\geq[/mm] oder
> ähnlich sortiert werden oder?)
Ja, genau.
> und [mm]M\subseteq[/mm] X. Falls es
> ein [mm]S\in[/mm] X gibt mit [mm]x\geq[/mm] S für alle [mm]x\in[/mm] M, so heißt S
> untere Schranke für M in X.
Ja.
> -Infimum/Minimum: Sei X eine geordnete Menge und M nach
> unten beschränkt. [mm]M\subseteq[/mm] X, Es existiert [mm]S\in[/mm] X mit:
> (i) S ist untere Schranke von M
> (ii) Ist T>S, so ist T keine obere untere Schranke von M
> Dann ist S Infimum von M in X, S:=infM.
In ii) wird erklärt, was es bedeutet, daß S die größte untere Schranke ist.
man kann das such so formulieren: jede andere untere Schranke der Menge ist kleiner als S.
Mach Dir nochmal an einem Bildchen größte untere Schranke und kleinste obere Schranke klar. Du hast da noch ein klein bißchen Durcheinander (s. meine Streichungen).
Wenn man ein Bild vor Augen hat, passierst das nicht mehr.
> Falls [mm]S\in M,[/mm] so ist S auch Minimum von M, S:=minM
Genau.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
also eigentlich müsstest du in dem Fall das (ii) gar nicht zeigen, es reicht zu zeigen:
1. 0 ist untere Schranke
2. 0 [mm] \in [/mm] A,
damit hat man dann sowohl gezeigt, dass es ein Infimum und Minimum zugleich ist.
zu 1. Da -1 [mm] \le \bruch{(-1)^{n}}{n} \forall [/mm] n [mm] \in \IN \backslash [/mm] {0}
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le [/mm] n+ [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n} \forall [/mm] n [mm] \in \IN \backslash [/mm] {0}
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 ist untere Schranke
zu 2. Für n=1 gilt: 1-1=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in [/mm] A
[mm] \Rightarrow [/mm] 0= inf A =min A [mm] \Box
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Di 02.06.2009 | | Autor: | notinX |
Danke erstmal für die ausführlichen Erläuterungen.
Ich versuche mich mal an der Menge C:={x [mm] \in \IQ [/mm] | [mm] x^{2}< [/mm] 2} [mm] \subset \IQ [/mm]
Behauptung: [mm] \pm \sqrt{2} [/mm] ist obere/untere Schranke von M
Sei [mm] x^2<2 [/mm] und [mm] x\in \mathbb{Q}. [/mm] Da [mm] x^2<2, [/mm] ist [mm] x<\sqrt{2}\quad \vee\quad x>-\sqrt{2}\quad \Rightarrow\quad -\sqrt{2}
Behauptung: [mm] \pm \sqrt{2} [/mm] ist kleinste/größte obere/untere Schranke von M
für alle [mm] x\geq\sqrt{2} [/mm] gilt [mm] x^2\not<2
[/mm]
für alle [mm] x\leq-\sqrt{2} [/mm] gilt ebenfalls [mm] x^2\not<2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \sqrt{2} [/mm] ist kleinste obere Schrakne und [mm] -\sqrt{2} [/mm] ist größte untere Schranke
Daraus folgt [mm] -\sqrt{2}=inf [/mm] C, aber nicht min C da [mm] -\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}
[/mm]
und [mm] \sqrt{2}=sup [/mm] C aber nicht max C da [mm] \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}
[/mm]
So, ich hoffe, ich habe nicht allzu viele Fehler gemacht...
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Danke erstmal für die ausführlichen Erläuterungen.
> Ich versuche mich mal an der Menge C:={x [mm]\in \IQ[/mm] | [mm]x^{2}<[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> 2} [mm]\subset \IQ[/mm]
> Behauptung: [mm]\pm \sqrt{2}[/mm] ist obere/untere Schranke von M
> Sei [mm]x^2<2[/mm] und [mm]x\in \mathbb{Q}.[/mm] Da [mm]x^2<2,[/mm] ist
> [mm]x<\sqrt{2}\quad \vee\quad x>-\sqrt{2}\quad \Rightarrow\quad -\sqrt{2}
Hallo,
das tut mir jetzt etwas leid:
hätte in der Aufgabe gestanden C= [mm] \{x \in \IQ | x^{2}< 2\} \subset \red{\IR }, [/mm] so hättest Du eine obere und untere Schranke richtig bestimmt.
Das Fiese ist, daß die Aufgabe aber lautete: C= [mm] \{x \in \IQ | x^{2}< 2\} [/mm] $ [mm] \subset\red{ \IQ} [/mm] $.
Man soll hier also eine obere Schranke in [mm] \IQ [/mm] bestimmen. Alle Zahlen, die nicht in [mm] \IQ [/mm] sind, existieren für uns im Moment nicht.
Du kannst jetzt bespielsweise zeigen, daß 4711 eine obere Schranke von C ist. Bequemer ist allerdings der Nachweis, daß 3 eine obere Schranke von C in [mm] \IQ [/mm] ist.
Machen kannst Du das so: nimm an, daß die 3 keine obere Schranke ist und erzeuge einen Widerspruch.
Also: angenommen, 3 wäre keine obere Schranke. Dann gäbe es ein Element a [mm] \in [/mm] C mit a>3.
Dann wäre ...
Das Problem setzt sich dann fort: da [mm] \sqrt{2} [/mm] keine obere Schranke von C in [mm] \IQ [/mm] ist, ist es natürlich kein Supremum in [mm] \IQ.
[/mm]
Du müßtest stattdessen zeigen, daß = {x $ [mm] \in \IQ [/mm] $ | $ [mm] x^{2}< [/mm] $ 2} $ [mm] \subset\red{ \IQ} [/mm] kein Supremum in [mm] \IQ [/mm] hat.
Auch dies würde durch einen Widerpruch geschehen können, indem Du annimmst, daß es eine kleinste obere Schranke [mm] s\in \IQ [/mm] gibt.
Wenn Du gezeigt hast, daß es kein Supremum gibt, hat sich ja auch der Gedanke ans Maximum erübrigt.
Achtung, Achtung: wenn Du die Menge als Teilmenge von [mm] \IR [/mm] betrachtest, sieht die Sache anders aus: da gibt's obere Schranken, z.b. 4711, 815, 2 und [mm] \wurzel{2},
[/mm]
die Menge hat ein Supremum, nämlich [mm] \wurzel{2}, [/mm] und kein Maximum, weil [mm] \wurzel{2} [/mm] nicht in C ist.
Aber auch als Beweis für die kleinst obere Schranke in [mm] \IR [/mm] ist das nicht richtig.
Du mußt Dich wirklich an der Definition entlanghangeln.
Angenommen, es wäre [mm] T\<\wurzel{2} [/mm] eine weitere obere Schranke.
Hier würde man nun zeigen, daß man zwischen T und [mm] \wurzel{2} [/mm] noch mindestens ein Element von C findet.
Gruß v. Angela
> Behauptung: [mm]\pm \sqrt{2}[/mm] ist kleinste/größte obere/untere
> Schranke von [M
> für alle [mm]x\geq\sqrt{2}[/mm] gilt [mm]x^2\not<2[/mm]
> für alle [mm]x\leq-\sqrt{2}[/mm] gilt ebenfalls [mm]x^2\not<2[/mm]
> [mm]\Rightarrow \sqrt{2}[/mm] ist kleinste obere Schrakne und
> [mm]-\sqrt{2}[/mm] ist größte untere Schranke
>
> Daraus folgt [mm]-\sqrt{2}=inf[/mm] C, aber nicht min C da
> [mm]-\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}[/mm]
> und [mm]\sqrt{2}=sup[/mm] C aber nicht
> max C da [mm]\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}[/mm]
>
> So, ich hoffe, ich habe nicht allzu viele Fehler gemacht...
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Mi 03.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Ich glaub, so ganz hab ichs noch nich verstanden, wie wäre das denn z.B. wenn da stünde C:= { x [mm] \in \IQ [/mm] | [mm] x^{2} [/mm] < 2} [mm] \subset \IZ. [/mm] Gäbe es da als Supremum 1 und als Infimum -1? Ist die Menge dann überhaupt wohldefiniert?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ich glaub, so ganz hab ichs noch nich verstanden,
Hallo,
aber daß, was Du ganz, ganz oben zu C schriebst, klang ja schon so, als würdest Du die Angelegenheit durchschauen.
> wie wäre
> das denn z.B. wenn da stünde C:= { x [mm]\in \IQ[/mm] | [mm]x^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
< 2}
> [mm]\subset \IZ.[/mm]
Das wäre doch der totale Blödsinn!!! C ist doch gar keine Teilmenge von [mm] \IZ.
[/mm]
Wenn da stünde aber stünde C:=\ { x [mm] \in \red{\IZ} [/mm] | [mm] x^{2}< [/mm] 2} [mm] \subset \IZ., [/mm] dann wäre [mm] C=\{-1,0,1}, [/mm] und wir hätten 'ne riesige Auswahl an oberen und unteren Schranken in [mm] \IZ [/mm] und C hätte ein Min und ein Max, also Sup und Inf.
Grußv. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mi 03.06.2009 | | Autor: | notinX |
[mm] C:=\{x\in\mathbb{Q}|x^2<2\}\subset\mathbb{Q}
[/mm]
Vermutung1: 3 ist obere Schraanke
Annahme: 3 ist keine obere Schranke. Dann esxistiert [mm] a\in [/mm] C mit a>3 für das gilt: [mm] a^2<2. [/mm] Da aber [mm] 3^2>2 [/mm] ist, gilt für alle [mm] a\geq3 [/mm] : [mm] a^2\not<2 \Rightarrow [/mm] Widerspruch zur Voraussetzung, somit muss 3 obere Schranke sein.
Vermutung2: -2 ist untere Schranke
Annahme: -2 ist keine untere Schranke. Dann existiert [mm] b\in [/mm] C mit b<-2 für das gilt: [mm] a^2<2. [/mm] Da aber [mm] (-2)^2>2 [/mm] ist, gilt für alle [mm] b\leq-2 [/mm] : [mm] b^2\not<2 \Rightarrow [/mm] Widerspruch zur Voraussetzung, somit muss -2 untere Schranke sein.
Stimmt das so?
Wie soll ich denn zeigen, dass es keine kleinste obere Schranke [mm] S_o [/mm] gibt. Indem ich zeige, dass es immer ein [mm] S_o' [/mm] gibt mit [mm] S_o'
|
|
|
| |
|
> [mm]C:=\{x\in\mathbb{Q}|x^2<2\}\subset\mathbb{Q}[/mm]
> Vermutung1: 3 ist obere Schraanke
> Annahme: 3 ist keine obere Schranke. Dann esxistiert [mm]a\in[/mm]
> C mit a>3 für das gilt: [mm]a^2<2.[/mm] Da aber [mm]3^2>2[/mm] ist, gilt für
> alle [mm]a\geq3[/mm] : [mm]a^2\not<2 \Rightarrow[/mm] Widerspruch zur
> Voraussetzung, somit muss 3 obere Schranke sein.
Hallo,
es geht nun wirklich aufwärts.
Ich glaube, daß Du Deinen Beweis verstanden hast, man könnte ihn noch ein wenig eindrucksvoller gestalten. Ich mach's mal vor, schau Dir an, was ich etwas anders mache:
Angenommen, 3 wäre keine obere Schranke.
Dann gäbe es ein [mm] a\in [/mm] C mit a>3. Folglich wäre [mm] \red{a^2>9}.
[/mm]
Wegen [mm] a^2<2 [/mm] hätte man 2<9. Widerspruch.
Die Anmnahme, daß 3 keine obere Schranke ist, führt zum Widerspruch. Also ist 3 eine obere Schranke.
>
> Vermutung2: -2 ist untere Schranke
> Annahme: -2 ist keine untere Schranke. Dann existiert [mm]b\in[/mm]
> C mit b<-2 für das gilt: [mm]a^2<2.[/mm] Da aber [mm](-2)^2>2[/mm] ist, gilt
> für alle [mm]b\leq-2[/mm] : [mm]b^2\not<2 \Rightarrow[/mm] Widerspruch zur
> Voraussetzung, somit muss -2 untere Schranke sein.
Hier entsprechend.
>
> Stimmt das so?
> Wie soll ich denn zeigen, dass es keine kleinste obere
> Schranke [mm]S_o[/mm] gibt.
Tja, das ist eine interessante Frage, und sie wäre bequemer zu beantworten, wenn man wüßte, was es diesbezüglich in der Vorlesung Verwendbares gab, z.B. eine Folge von rationalen Zahlen, die gegen [mm] \wurzel{2} [/mm] konvergiert.
Mal so als grobe idee:
Entweder die kleinste obere Schranke ist kleiner als [mm] \wurzel{2}. [/mm] Dann gilt es, eine rationale Zahl zu finden, die zwischen der vermeintlichen Schranke und [mm] \wurzel{2} [/mm] liegt.
Oder die kleinste obere Schranke ist größer als Wurzel 2. dann muß man zeigen, daß zwischen [mm] \wurzel{2} [/mm] und der vermeintlichen kleinsten oberen Schranke noch eine Schranke liegt.
Man kann auch die Eindeutigkeit des Supremums verwenden: in [mm] \IR [/mm] wäre ja [mm] \wurzel{2} [/mm] das Supremum, und das liegt nicht in [mm] \IQ. [/mm] das ist recht bequem.
Gruß v. Angela
Indem ich zeige, dass es immer ein [mm]S_o'[/mm]
> gibt mit [mm]S_o'
|
|
|
|
