Infimum und Supremum als Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Sa 07.05.2011 | | Autor: | GK13 |
Hey,
ich hab ein Problem mit einer meiner Vorlesungen. Wir haben da einen Beweis gemacht und ich versteh den einen Schritt einfach nicht.
Undzwar geht es um einen Satz von Cauchy, den wir beweisen wollen.
Wir haben schon bewiesen das unsere Folge (an) beschränkt ist.
Jetzt definieren wir uns bn und cn
mit
[mm] b_{n}:= [/mm] inf{am: [mm] m\ge [/mm] n}
[mm] c_{n}:= [/mm] sup{am: [mm] m\ge [/mm] n}
soweit sogut und jetzt verwirrt mich folgendes:
[mm] "b_{n} [/mm] und cn sind beschränkt (weil [mm] a_{n} [/mm] beschränkt ist" (okay)
"und [mm] b_{n} [/mm] monoton wachsend, [mm] c_{n} [/mm] monoton fallend".
Das verstehe ich nicht.
Infimum/Supremum sind doch jeweils nur eine Zahl?! Wie kann da was fallen oder steigen!?
Kann mir jemand sagen, wo meine Denkblockade liegt??
Lieben Gruß
GK13
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Moin GK13,
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> Hey,
>
> ich hab ein Problem mit einer meiner Vorlesungen. Wir haben
> da einen Beweis gemacht und ich versteh den einen Schritt
> einfach nicht.
> Undzwar geht es um einen Satz von Cauchy, den wir beweisen
> wollen.
> Wir haben schon bewiesen das unsere Folge (an) beschränkt
> ist.
> Jetzt definieren wir uns bn und cn
> mit
> [mm]b_{n}:=[/mm] [mm] inf{a_m: m\ge n}
[/mm]
> [mm]c_{n}:=[/mm] [mm] sup{a_m: m\ge n}
[/mm]
> soweit sogut und jetzt verwirrt mich folgendes:
> [mm]"b_{n}[/mm] und cn sind beschränkt (weil [mm]a_{n}[/mm] beschränkt ist" (okay)
> "und [mm]b_{n}[/mm] monoton wachsend, [mm]c_{n}[/mm] monoton fallend".
> Das verstehe ich nicht.
> Infimum/Supremum sind doch jeweils nur eine Zahl?! Wie
> kann da was fallen oder steigen!?
Hier wird doch die Folge in Abhängigkeit von n betrachtet. Überlege dir etwa für [mm] c_n [/mm] :
Sei [mm] n_1< n_2. [/mm] Dann gilt [mm] M_{n_2}:=\{a_m|m\geq n_2\}\subset\{a_m|m\geq n_1\}=:M_{n_1}
[/mm]
Damit folgt sofort, dass [mm] c_{n_1}=\sup(M_{n_1})\geq \sup(M_{n_2})=c_{n_2}.
[/mm]
Dies bedeutet, dass die Folge [mm] (c_n) [/mm] monoton fallend ist.
Analog für [mm] (b_n).
[/mm]
> Kann mir jemand sagen, wo meine Denkblockade liegt??
>
> Lieben Gruß
>
> GK13
>
LG
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