Infimum und Supremum einer Fun < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Ich habe mir im folgendem vorgenommen ein bisschen das bestimmen eines Infimums bzw eines Supremums zu üben. Anfangen wollte ich mit dieser Menge:
M= { [mm] x^2 [/mm] + x + 2 | x [mm] \in \IQ [/mm] und |x| [mm] \le [/mm] 2 }
Dann liegt das Supremum der Menge doch bei =8 oder? da:
[mm] x^2 [/mm] + x + 2 für alle x [mm] \in [/mm] M [mm] \le \2 [/mm] ist..also [mm] (2)^2 [/mm] + 2 + 2 =8
und das Infimum liegt demnoch doch bei:
[mm] x^2 [/mm] +x+ 2= 8- [mm] \varepsilon_x [/mm]
kann man das so sagen? oder bin ich jetzt auf einem Irrweg? und wie würdet ihr das machen?
PS: Ich studiere seit 4 Wochen und war die komplette letzte Woche im Krankenhaus und versuche nun den Stoff nachzuholen..leider fehlen mir auch die Unterlagen da ich in einer anderen Stadt studiere..daher habe ich mir einige Beispiele aus dem Internet gesucht. bitte erklärt mir das oder helft mir
mfG
Alex
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ich habe mir im folgendem vorgenommen ein bisschen das
> bestimmen eines Infimums bzw eines Supremums zu üben.
> Anfangen wollte ich mit dieser Menge:
> M= { [mm]x^2[/mm] + x + 2 | x [mm]\in \IQ[/mm] und |x| [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2 }
> Dann liegt das Supremum der Menge doch bei =8 oder? da:
> [mm]x^2[/mm] + x + 2 für alle x [mm]\in[/mm] M [mm]\le \2[/mm] ist..also [mm](2)^2[/mm] + 2 +
> 2 =8
Hallo,
Dein Supremum stimmt.
Die Begründung überzeugt mich nicht.
Was machst Du, wenn ich Dir nicht glaube, daß bei x=2 der größte Funktionswert angenommen wird.
>
> und das Infimum liegt demnoch doch bei:
> [mm]x^2[/mm] +x+ 2= 8- [mm]\varepsilon_x[/mm]
> kann man das so sagen?
Sagen kann man viel...
Aber was Du sagst, ist bedeutungslos, denn Du verrätst ja gar nicht, was [mm] \varepsilon_x [/mm] sein soll.
Vielleicht überlegst Du Dir mal, was für ein Graph zu [mm] f(x):=x^2+x+2 [/mm] gehört.
Vielleicht bringst Du die Funktionsgleichung mal n Scheitelpunktsform...
Lg Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ich habe mir im folgendem vorgenommen ein bisschen das
> > bestimmen eines Infimums bzw eines Supremums zu üben.
> > Anfangen wollte ich mit dieser Menge:
> > M= { [mm]x^2[/mm] + x + 2 | x [mm]\in \IQ[/mm] und |x| [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> 2 }
> > Dann liegt das Supremum der Menge doch bei =8 oder? da:
> > [mm]x^2[/mm] + x + 2 für alle x [mm]\in[/mm] M [mm]\le \2[/mm] ist..also [mm](2)^2[/mm] + 2
> +
> > 2 =8
>
> Hallo,
>
> Dein Supremum stimmt.
> Die Begründung überzeugt mich nicht.
> Was machst Du, wenn ich Dir nicht glaube, daß bei x=2 der
> größte Funktionswert angenommen wird.
vielleicht kann ich es in einer Ungleichung darstellen?:
[mm] x^2 [/mm] + x + 2 [mm] \le [/mm] 8
[mm] x^2 [/mm] + x -6 [mm] \le [/mm] 0
dann erhalte ich durch die p-q Formel
x [mm] \le [/mm] 2
kann man das so sagen?
>
> >
> > und das Infimum liegt demnoch doch bei:
> > [mm]x^2[/mm] +x+ 2= 8- [mm]\varepsilon_x[/mm]
> > kann man das so sagen?
>
> Sagen kann man viel...
> Aber was Du sagst, ist bedeutungslos, denn Du verrätst ja
> gar nicht, was [mm]\varepsilon_x[/mm] sein soll.
>
> Vielleicht überlegst Du Dir mal, was für ein Graph zu
> [mm]f(x):=x^2+x+2[/mm] gehört.
> Vielleicht bringst Du die Funktionsgleichung mal n
> Scheitelpunktsform...
Also die Scheitelpunktsform ist ja:
[mm] (x+0,5)^2 [/mm] -2,25
und nun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Sa 16.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Dein Supremum stimmt.
> > Die Begründung überzeugt mich nicht.
> > Was machst Du, wenn ich Dir nicht glaube, daß bei x=2
> der
> > größte Funktionswert angenommen wird.
>
> vielleicht kann ich es in einer Ungleichung darstellen?:
> [mm]x^2[/mm] + x + 2 [mm]\le[/mm] 8
> [mm]x^2[/mm] + x -6 [mm]\le[/mm] 0
> dann erhalte ich durch die p-q Formel
> x [mm]\le[/mm] 2
>
> kann man das so sagen?
Nicht wirklich. Die p-q-Formel gibt Lösungen für quadratische Gleichungen.
> >
> > >
> > > und das Infimum liegt demnoch doch bei:
> > > [mm]x^2[/mm] +x+ 2= 8- [mm]\varepsilon_x[/mm]
> > > kann man das so sagen?
> >
> > Sagen kann man viel...
> > Aber was Du sagst, ist bedeutungslos, denn Du verrätst
> ja
> > gar nicht, was [mm]\varepsilon_x[/mm] sein soll.
> >
> > Vielleicht überlegst Du Dir mal, was für ein Graph zu
> > [mm]f(x):=x^2+x+2[/mm] gehört.
> > Vielleicht bringst Du die Funktionsgleichung mal n
> > Scheitelpunktsform...
>
> Also die Scheitelpunktsform ist ja:
> [mm](x+0,5)^2[/mm] -2,25
> und nun?
Das stimmt nicht ganz:
[mm] f(x)=x^{2}+x+2
[/mm]
[mm] =x^{2}+2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+2
[/mm]
[mm] =x^{2}+2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+2
[/mm]
[mm] =\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}+2
[/mm]
[mm] =\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}
[/mm]
Überlege auch mal, warum der Scheitelpunkt der Tiefpunkt dieser Parabel sein muss.
Außerdem solltest du dir mal überlegen, dass der Scheitel der einzige Extrempunkt einer Parabel sein muss.
Berechne nun noch die Randextrema der Parabel, also die y-Koordinaten zu x=2 und x=-2.
Alternativ kannst du den Scheitelpunkt auch über die Differentialrechnung ermitteln, die du sicher aus der Oberstufe noch kennst.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ACHTUNG: Tippfehler die ganze Funktion lautet [mm] x^2 [/mm] + x -2
>
> > > Dein Supremum stimmt.
> > > Die Begründung überzeugt mich nicht.
> > > Was machst Du, wenn ich Dir nicht glaube, daß bei
> x=2
> > der
> > > größte Funktionswert angenommen wird.
> >
> > vielleicht kann ich es in einer Ungleichung
> darstellen?:
> > [mm]x^2[/mm] + x + 2 [mm]\le[/mm] 8
> > [mm]x^2[/mm] + x -6 [mm]\le[/mm] 0
> > dann erhalte ich durch die p-q Formel
> > x [mm]\le[/mm] 2
> >
> > kann man das so sagen?
>
> Nicht wirklich. Die p-q-Formel gibt Lösungen für
> quadratische Gleichungen.
>
> > >Aufgrund der veränderten Funktion liegt dann das Supremum bei 4...aber wie kann ich beweisen das das Supremum wirklich bei 4 liegt?
> > > >
> > > > und das Infimum liegt demnoch doch bei:
> > > > [mm]x^2[/mm] +x+ 2= 8- [mm]\varepsilon_x[/mm]
> > > > kann man das so sagen?
> > >
> > > Sagen kann man viel...
> > > Aber was Du sagst, ist bedeutungslos, denn Du
> verrätst
> > ja
> > > gar nicht, was [mm]\varepsilon_x[/mm] sein soll.
> > >
> > > Vielleicht überlegst Du Dir mal, was für ein Graph
> zu
> > > [mm]f(x):=x^2+x+2[/mm] gehört.
> > > Vielleicht bringst Du die Funktionsgleichung mal n
> > > Scheitelpunktsform...
> >
> > Also die Scheitelpunktsform ist ja:
> > [mm](x+0,5)^2[/mm] -2,25
> > und nun?
>
> Das stimmt nicht ganz:
>
> [mm]f(x)=x^{2}+x+2[/mm]
> [mm]=x^{2}+2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+2[/mm]
> [mm]=x^{2}+2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+2[/mm]
>
> [mm]=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}+2[/mm]
> [mm]=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}[/mm]
>
> Überlege auch mal, warum der Scheitelpunkt der Tiefpunkt
> dieser Parabel sein muss.
>
> Außerdem solltest du dir mal überlegen, dass der Scheitel
> der einzige Extrempunkt einer Parabel sein muss.
Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt, da er automatisch auch ein Tiefpunkt ist (vgl. ertse Ableitung) und auch der einzigste Extrempunkt der Funtion..
>
> Berechne nun noch die Randextrema der Parabel, also die
> y-Koordinaten zu x=2 und x=-2.
Die y-Koordinaten zu x=-2 ist 0 und zu x=2 ist 4(mit der neuen Funktion siehe oben)
>
> Alternativ kannst du den Scheitelpunkt auch über die
> Differentialrechnung ermitteln, die du sicher aus der
> Oberstufe noch kennst.
Den Scheitelpunkt habe ich ja jetzt schon ermittelt...der tiefste Punkt liegt meines Wissens nach bei -2,25...mit der veränderten Funktion..reicht das als Beweis dafür um zu zeigen, dass das Infimum bei -2,25 liegt?
>
> Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Sa 16.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ACHTUNG: Tippfehler die ganze Funktion lautet [mm]x^2[/mm] + x -2
Dann stimmt auch dein Scheitelpunkt
> > [...]
> > Überlege auch mal, warum der Scheitelpunkt der Tiefpunkt
> > dieser Parabel sein muss.
> >
> > Außerdem solltest du dir mal überlegen, dass der Scheitel
> > der einzige Extrempunkt einer Parabel sein muss.
> Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt, da er automatisch
> auch ein Tiefpunkt ist (vgl. ertse Ableitung) und auch der
> einzigste Extrempunkt der Funtion..
Und warum ist es ein Tiefpunkt? Dazu brauchst du die notwendige Bedingung für Tiefpunkte oder eine Aussage über die Öffnungsrichtung der Parabel
>
> >
> > Berechne nun noch die Randextrema der Parabel, also die
> > y-Koordinaten zu x=2 und x=-2.
>
> Die y-Koordinaten zu x=-2 ist 0 und zu x=2 ist 4(mit der
> neuen Funktion siehe oben)
f(-2)=0 ist korrekt, f(2)=4 ebenfalls.
Was bedeutet das dann (in Verbindung mit dem Scheitelpunkt) für den Wertebereich dieser Funktion für [mm] $-2\le x\le2$
[/mm]
> >
> > Alternativ kannst du den Scheitelpunkt auch über die
> > Differentialrechnung ermitteln, die du sicher aus der
> > Oberstufe noch kennst.
>
> Den Scheitelpunkt habe ich ja jetzt schon ermittelt...der
> tiefste Punkt liegt meines Wissens nach bei -2,25...mit der
> veränderten Funktion..reicht das als Beweis dafür um zu
> zeigen, dass das Infimum bei -2,25 liegt?
Neun, es fehlt noch die Aussage, dass der Scheitelpunkt ein Tiefpunkt ist.
Ausserdem wird dieses Infimum auch getroffen, es ist also ein M...mum.
Was ist nun mit einem Supremum? Was mit einem Maximum.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
> Hallo
>
> > ACHTUNG: Tippfehler die ganze Funktion lautet [mm]x^2[/mm] + x -2
>
> Dann stimmt auch dein Scheitelpunkt
>
>
> > > [...]
> > > Überlege auch mal, warum der Scheitelpunkt der
> Tiefpunkt
> > > dieser Parabel sein muss.
> > >
> > > Außerdem solltest du dir mal überlegen, dass der
> Scheitel
> > > der einzige Extrempunkt einer Parabel sein muss.
> > Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt, da er
> automatisch
> > auch ein Tiefpunkt ist (vgl. ertse Ableitung) und auch
> der
> > einzigste Extrempunkt der Funtion..
>
> Und warum ist es ein Tiefpunkt? Dazu brauchst du die
> notwendige Bedingung für Tiefpunkte oder eine Aussage
> über die Öffnungsrichtung der Parabel
>
da die erste Ableitung mit f'(x)=2x + 1 an der Stelle wo der Scheitelpunkt ist eine Nullstelle hat8notwenige Bedingung). Die zweite Ableitung f''(x) ist für die x-Koordinate des Scheitelpunktes größer als 0(hinreichende Bedingung), daher ist es ein Tiefpunkt
> >
> > >
> > > Berechne nun noch die Randextrema der Parabel, also
> die
> > > y-Koordinaten zu x=2 und x=-2.
> >
> > Die y-Koordinaten zu x=-2 ist 0 und zu x=2 ist 4(mit
> der
> > neuen Funktion siehe oben)
>
> f(-2)=0 ist korrekt, f(2)=4 ebenfalls.
> Was bedeutet das dann (in Verbindung mit dem
> Scheitelpunkt) für den Wertebereich dieser Funktion für
> [mm]-2\le x\le2[/mm]
jetzt ste ich am Schlauch..was soll das bedeuten? vielleicht, dass von links nach rechts gelesen, die Werte bis zum Scheitelpunkt sinken und dann wieder steigen?
>
>
>
> > >
> > > Alternativ kannst du den Scheitelpunkt auch über die
> > > Differentialrechnung ermitteln, die du sicher aus der
> > > Oberstufe noch kennst.
> >
> > Den Scheitelpunkt habe ich ja jetzt schon
> ermittelt...der
> > tiefste Punkt liegt meines Wissens nach bei -2,25...mit
> der
> > veränderten Funktion..reicht das als Beweis dafür um
> zu
> > zeigen, dass das Infimum bei -2,25 liegt?
>
> Neun, es fehlt noch die Aussage, dass der Scheitelpunkt ein
> Tiefpunkt ist.
> Ausserdem wird dieses Infimum auch getroffen, es ist also
> ein M...mum.
Es ist ein Minimum- leider dürfen wir diese Begriffe noch nicht verwenden (Minimum, Maximum)
>
> Was ist nun mit einem Supremum? Was mit einem Maximum.
Das Supremum liegt bei f(2)= 4 da lxl < 2
aber ich weiß nicht wie ich genau ich das jetzt beweisen soll. kannst du mir da schonmal weiterhelfen?
danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Sa 16.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > [...]
> >
> > Und warum ist es ein Tiefpunkt? Dazu brauchst du die
> > notwendige Bedingung für Tiefpunkte oder eine Aussage
> > über die Öffnungsrichtung der Parabel
> >
>
> da die erste Ableitung mit f'(x)=2x + 1 an der Stelle wo
> der Scheitelpunkt ist eine Nullstelle hat8notwenige
> Bedingung). Die zweite Ableitung f''(x) ist für die
> x-Koordinate des Scheitelpunktes größer als
> 0(hinreichende Bedingung), daher ist es ein Tiefpunkt
Das ist korrekt, hit gilt f''(-0,5)=2>0 ist an der Stelle x=0,5 ein Tiefpunkt. Damit ist f(0,5)=-2,25 also das Infimum der Menge
> > > [...]
> > Neun, es fehlt noch die Aussage, dass der Scheitelpunkt ein
> > Tiefpunkt ist.
> > Ausserdem wird dieses Infimum auch getroffen, es ist
> also
> > ein M...mum.
> Es ist ein Minimum- leider dürfen wir diese Begriffe noch
> nicht verwenden (Minimum, Maximum)
Schade,
> >
> > Was ist nun mit einem Supremum? Was mit einem Maximum.
>
>
> Das Supremum liegt bei f(2)= 4 da lxl < 2
Das ist korrekt, da die Funktion ja komplett stetig ist, und nur einen globalen Tiefpunkt hat, muss die Obergrenze an den Rändern des Definitionsbereiches liegen, hier gibt es die beiden Ränder x=2 und x=-2 mit f(2)=4 und f(-2)=2
Da 4>2, ist 4 dann auch das Supremum.
>
> aber ich weiß nicht wie ich genau ich das jetzt beweisen
> soll. kannst du mir da schonmal weiterhelfen?
>
> danke!
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
vielen Dank für deine Hilfe!
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