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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Inh. DGL
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Inh. DGL: Störfunktion?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:00 Di 27.09.2011
Autor: frank85

Aufgabe
[mm]y''+2y'+y=2*\sin x[/mm]

Ich habe so angefangen:
[mm]y''+2y'+y=2*\sin x[/mm]
[mm]\gdw y''+2y'+y=0[/mm] und [mm]2*\sin x=?[/mm]
[mm]\gdw\lambda^2+2\lambda^1+\lambda^0=0[/mm]
[mm]\gdw\lambda^2+2\lambda+1=0[/mm]
[mm]\gdw\lambda_{\bruch{1}{2}}=-1[/mm]
[mm]\gdw\lambda^2+2\lambda+1=0[/mm]
[mm]\gdw[/mm] Fundamentalsystem: [mm]\{e^-x,x*e^-x\}[/mm]

So nun die Frage was man mit [mm]2*\sin x[/mm] anstellt?


        
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Inh. DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:09 Di 27.09.2011
Autor: Diophant

Hallo,

es jhandelt sich um eine inhomogene DGL mit konstanten Koeffizienten, und du hast ja per charakteristischer Gleichung eine homogene Lösung bereits bestimmt.

Für eine Störfunktion vom Typ c*sin(k*x) kannst du für eine partikuläre Lösung so ansetzen:

[mm] y_p=A*sin(kx)+B*cos(kx) [/mm]

sofern k keine Lösung der charakteristischen Gleichung ist (was hier der Fall ist).

Gruß, Diophant

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Bezug
Inh. DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:18 Di 27.09.2011
Autor: frank85


> Hallo,
>  
> es jhandelt sich um eine inhomogene DGL mit konstanten
> Koeffizienten, und du hast ja per charakteristischer
> Gleichung eine homogene Lösung bereits bestimmt.
>  
> Für eine Störfunktion vom Typ c*sin(k*x) kannst du für
> eine partikuläre Lösung so ansetzen:
>  
> [mm]y_p=A*sin(kx)+B*cos(kx)[/mm]

Okay danke dafür

> sofern k keine Lösung der charakteristischen Gleichung ist
> (was hier der Fall ist).

Das hab ich jetzt nicht verstanden. k darf nicht -1 sein? oder kann nicht? was hat das mit dem Ansatz [mm]y_p=A*sin(kx)+B*cos(kx)[/mm] zu tun?
Was macht ich jetzt mit diesem Ansatz? wie finde ich A,B und k?
Danke schön!

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Inh. DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:28 Di 27.09.2011
Autor: TheBozz-mismo

Hallo!
Also k brauchst du nicht zu berechnen, denn dein Störfaktor lautet 2sin(x) (mit k=1)

Also du hast jetzt den Ansatz:
$ [mm] y_p=A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x) [/mm] $
Nun leitest du [mm] y_p [/mm] zweimal ab und setzt [mm] y_p, y_p' [/mm] und  [mm] y_p'' [/mm] in deine Ausgangsdgl ein und kannst dann durch Koeffizientenvergleich A und B finden.

Die Lösung der Dgl besteht aus der homogenen Lösung plus der speziellen Lösung.

Gruß
TheBozz-mismo

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Inh. DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:00 Di 27.09.2011
Autor: frank85


> Hallo!
>  Also k brauchst du nicht zu berechnen, denn dein
> Störfaktor lautet 2*sin(x) (mit k=1)

meinst du nicht [mm]k=-1[/mm]?
hmm, also:[mm]k=-1[/mm]
[mm]\gdw 2*sin(x)=A*\sin(-x)+B*\sin(-x)[/mm]
wie soll man jetzt herausbekommen was A und was B ist? Ich checks echt nicht.

> Nun leitest du $ [mm] y_p [/mm] $ zweimal ab und setzt $ [mm] y_p, y_p' [/mm] $ und  $ [mm] y_p'' [/mm] in deine Ausgangsdgl ein $

Ja ableiten, aber was denn?  [mm]2*sin(x)[/mm] oder [mm]A*\sin(-x)+B*\sin(-x)[/mm]?

Vielen Dank nochmal!

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Inh. DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:24 Di 27.09.2011
Autor: TheBozz-mismo

Hallo!
Die DGL lautet y''+2y'+y=2sin(x)
Die homogene Lösung hast du ja schon bestimmt
[mm] y_{homogen}(x)=a*e^{-x}+b*x*e^{-x} [/mm] mit [mm] a,b\in \IR [/mm] als Konstanten
Nun zur speziellen Lösung:
Ansatz ist  $ [mm] y_p=A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x) [/mm] $
[mm] y_p'=A*cos(x)-B*sin(x) [/mm]
[mm] y_p''=-A*sin(x)-B*cos(x) [/mm]

Nun setzen wir [mm] y_p [/mm] in die DGL ein:
[mm] -A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x) [/mm]

Und nun kannst du durch Koeffizientervergleich A und B bestimmen und bekommst du deine inhomogene Lösung

Gruß
TheBozz-mismo

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Inh. DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:34 Di 27.09.2011
Autor: frank85


> [mm]-A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>  
> Und nun kannst du durch Koeffizientervergleich A und B
> bestimmen und bekommst du deine inhomogene Lösung
>  
> Gruß
>  TheBozz-mismo

[mm]\gdw -A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
[mm]\gdw -3*B*cos(x)+2*A*cos(x)+B*cos(x)=2*sin(x)[/mm]
[mm]\gdw -3*B*cos(x)+2*A*cos(x)+B*cos(x)=2*sin(x)[/mm]
weiter komme ich nicht :(

Bezug
                                                        
Bezug
Inh. DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:40 Di 27.09.2011
Autor: fred97


> >
> [mm]-A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>  >  
> > Und nun kannst du durch Koeffizientervergleich A und B
> > bestimmen und bekommst du deine inhomogene Lösung
>  >  
> > Gruß
>  >  TheBozz-mismo
> [mm]\gdw -A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>  
> [mm]\gdw -3*B*cos(x)+2*A*cos(x)+B*cos(x)=2*sin(x)[/mm]


Das stimmt nicht. Rechne nochmal.

FRED

>  [mm]\gdw -3*B*cos(x)+2*A*cos(x)+B*cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>  
> weiter komme ich nicht :(


Bezug
                                                                
Bezug
Inh. DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:16 Di 27.09.2011
Autor: frank85


> > >
> >
> [mm]-A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>  >  >  
> > > Und nun kannst du durch Koeffizientervergleich A und B
> > > bestimmen und bekommst du deine inhomogene Lösung
>  >  >  
> > > Gruß
>  >  >  TheBozz-mismo
> > [mm]\gdw -A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>  
> >  

> > [mm]\gdw -3*B*cos(x)+2*A*cos(x)+B*cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>  
>
> Das stimmt nicht. Rechne nochmal.
>  
> FRED
> >  [mm]\gdw -3*B*cos(x)+2*A*cos(x)+B*cos(x)=2*sin(x)[/mm]

>  >  
> > weiter komme ich nicht :(
>  

Ja stimmt:
[mm]\gdw -A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
[mm]\gdw -A*sin(x)-B*cos(x)+2*A*cos(x)-2B*sin(x)+A*sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
[mm]\gdw 2*A*cos(x)-2B*sin(x)=2*sin(x)[/mm]
A muss also 0 sein und B=-1
Jetzt richtig oder?
So und jetzt irgendwie alles zusammenfügen...


Bezug
                                                                        
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Inh. DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:28 Di 27.09.2011
Autor: fred97


> > > >
> > >
> >
> [mm]-A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>  >  >  >  
> > > > Und nun kannst du durch Koeffizientervergleich A und B
> > > > bestimmen und bekommst du deine inhomogene Lösung
>  >  >  >  
> > > > Gruß
>  >  >  >  TheBozz-mismo
> > > [mm]\gdw -A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > [mm]\gdw -3*B*cos(x)+2*A*cos(x)+B*cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>  >  
> >
> > Das stimmt nicht. Rechne nochmal.
>  >  
> > FRED
>  > >  [mm]\gdw -3*B*cos(x)+2*A*cos(x)+B*cos(x)=2*sin(x)[/mm]

>  >  >  
> > > weiter komme ich nicht :(
> >  

> Ja stimmt:
>  [mm]\gdw -A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>  
> [mm]\gdw -A*sin(x)-B*cos(x)+2*A*cos(x)-2B*sin(x)+A*sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>  
> [mm]\gdw 2*A*cos(x)-2B*sin(x)=2*sin(x)[/mm]
>  A muss also 0 sein und
> B=-1
>  Jetzt richtig oder?

Ja

FRED

>  So und jetzt irgendwie alles zusammenfügen...
>  


Bezug
                                                                                
Bezug
Inh. DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:56 Di 27.09.2011
Autor: frank85


> > [mm]\gdw 2*A*cos(x)-2B*sin(x)=2*sin(x)[/mm]
>  >  A muss also 0 sein und B=-1
>  >  Jetzt richtig oder?
>  
> Ja
>  
> FRED
>  >  So und jetzt irgendwie alles zusammenfügen...

nur wie? was ist genau die Lösung jetzt?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Inh. DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:01 Di 27.09.2011
Autor: fred97


> > > [mm]\gdw 2*A*cos(x)-2B*sin(x)=2*sin(x)[/mm]
>  >  >  A muss also 0
> sein und B=-1
>  >  >  Jetzt richtig oder?
>  >  
> > Ja
>  >  
> > FRED
>  >  >  So und jetzt irgendwie alles zusammenfügen...
>  nur wie? was ist genau die Lösung jetzt?

Das wurde Dir doch schon gesagt :

allgemeine Lösung der DGL = allg. Lösung der homogenen Gl. + spezielle Lösung der inhomogenen Gl.

FRED


Bezug
                                                                                                
Bezug
Inh. DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:13 Di 27.09.2011
Autor: frank85


> Das wurde Dir doch schon gesagt :
>  
> allgemeine Lösung der DGL = allg. Lösung der homogenen
> Gl. + spezielle Lösung der inhomogenen Gl.
>  
> FRED
>  

Stimmt ja, okay, dann also irgendwie so:
[mm]y(x)=e^-x+x*e^-x+2*A*\cos x -2*B*\sin x[/mm] ,mit A=0 und B=-1

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Inh. DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:33 Di 27.09.2011
Autor: fred97


> > Das wurde Dir doch schon gesagt :
>  >  
> > allgemeine Lösung der DGL = allg. Lösung der homogenen
> > Gl. + spezielle Lösung der inhomogenen Gl.
>  >  
> > FRED
>  >  
> Stimmt ja, okay, dann also irgendwie so:
>  [mm]y(x)=e^-x+x*e^-x+2*A*\cos x -2*B*\sin x[/mm] ,mit A=0 und B=-1

Oh mann ist das eine schwere Geburt !

Nein so:

              [mm] $y(x)=c_1e^x+c_2x*e^x-cos(x)$ (c_1,c_2 \in \IR) [/mm]

FRED


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Inh. DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:40 Di 27.09.2011
Autor: frank85


> > > Das wurde Dir doch schon gesagt :
>  >  >  
> > > allgemeine Lösung der DGL = allg. Lösung der homogenen
> > > Gl. + spezielle Lösung der inhomogenen Gl.
>  >  >  
> > > FRED
>  >  >  
> > Stimmt ja, okay, dann also irgendwie so:
>  >  [mm]y(x)=e^-x+x*e^-x+2*A*\cos x -2*B*\sin x[/mm] ,mit A=0 und
> B=-1
>
> Oh mann ist das eine schwere Geburt !

Ja wirklich...hab auch schon seit Wochen kein Bock mehr auf den Krams, und würds am liebsten hinschmeißen. Aber heute letzte Klausur wenn ich es irgendwie bestehe.

> Nein so:
>  
> [mm]y(x)=c_1e^\x+c_2x*e^\x-cos(x)[/mm]  [mm](c_1,c_2 \in \IR)[/mm]
>  
> FRED

mit minus oder? [mm]y(x)=c_1e^\red{-}x+c_2x*e^\red{-}x-cos(x)[/mm]  [mm](c_1,c_2 \in \IR)[/mm]
woher kommt denn [mm]-cos(x)[/mm]?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Inh. DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Di 27.09.2011
Autor: fred97


> > > > Das wurde Dir doch schon gesagt :
>  >  >  >  
> > > > allgemeine Lösung der DGL = allg. Lösung der homogenen
> > > > Gl. + spezielle Lösung der inhomogenen Gl.
>  >  >  >  
> > > > FRED
>  >  >  >  
> > > Stimmt ja, okay, dann also irgendwie so:
>  >  >  [mm]y(x)=e^-x+x*e^-x+2*A*\cos x -2*B*\sin x[/mm] ,mit A=0 und
> > B=-1
> >
> > Oh mann ist das eine schwere Geburt !
>  Ja wirklich...hab auch schon seit Wochen kein Bock mehr
> auf den Krams, und würds am liebsten hinschmeißen. Aber
> heute letzte Klausur wenn ich es irgendwie bestehe.
>  > Nein so:

>  >  
> > [mm]y(x)=c_1e^\x+c_2x*e^\x-cos(x)[/mm]  [mm](c_1,c_2 \in \IR)[/mm]
>  >  
> > FRED
>  mit minus oder?


Ja, da hab ich mich vertippt.

[mm]y(x)=c_1e^\red{-}x+c_2x*e^\red{-}x-cos(x)[/mm]  

> [mm](c_1,c_2 \in \IR)[/mm]
>  woher kommt denn [mm]-cos(x)[/mm]?

Ich glaub es nicht ! Hast Du denn nicht hier

               https://matheraum.de/read?i=822898

festgestellt, dass -cos(x) ein spezielle Lösung der inhomogenen Gl. ist ? Doch, das hast Du.

FRED


Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Inh. DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:50 Di 27.09.2011
Autor: frank85


> [mm]y(x)=c_1e^\red{-}x+c_2x*e^\red{-}x-cos(x)[/mm]  
> > [mm](c_1,c_2 \in \IR)[/mm]
>  >  woher kommt denn [mm]-cos(x)[/mm]?
>
> Ich glaub es nicht ! Hast Du denn nicht hier
>  
> https://matheraum.de/read?i=822898
>  
> festgestellt, dass -cos(x) ein spezielle Lösung der
> inhomogenen Gl. ist ? Doch, das hast Du.
>  
> FRED

Ich habe das hier geschrieben:

> [mm] [mm] \gdw 2\cdot{}A\cdot{}cos(x)-2B\cdot{}sin(x)=2\cdot{}sin(x)[/mm] [mm]
>  A muss also 0 sein und B=-1

Wo steht da jetzt das -cos(x) eine spezielle Lösung ist? Tut mir wirklich leid, ich mache das nicht mit Absicht, ich weiß es wirklich nicht

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Inh. DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 Di 27.09.2011
Autor: fred97

Das war doch Dein Ansatz für eine spezielle Lösung:

                                 $ [mm] y_p=A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x) [/mm] $

Was erhältst Du für A=0 und B=-1 ?

FRED

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Inh. DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Di 27.09.2011
Autor: frank85


> Das war doch Dein Ansatz für eine spezielle Lösung:
>  
> [mm]y_p=A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)[/mm]
>  
> Was erhältst Du für A=0 und B=-1 ?
>  
> FRED

[ '-_-] oben einsetzen quasi...
ja ok, jetzt ists klar. wusste ja  nicht das ich  A=0 und B=-1 noch oben einsetzen muss
Danke FRED, bist super

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Inh. DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:59 Di 27.09.2011
Autor: fred97


> > Das war doch Dein Ansatz für eine spezielle Lösung:
>  >  
> > [mm]y_p=A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)[/mm]
>  >  
> > Was erhältst Du für A=0 und B=-1 ?
>  >  
> > FRED
> [ '-_-] oben einsetzen quasi...
>  ja ok, jetzt ists klar. wusste ja  nicht das ich  A=0 und
> B=-1 noch oben einsetzen muss

Was hast Du gedacht. Du kannst mit den beiden auch spazieren gehen oder Dich volllaufen lassen ...

>  Danke FRED, bist super


Danke

FRED


Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Inh. DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:08 Di 27.09.2011
Autor: frank85


> > > Das war doch Dein Ansatz für eine spezielle Lösung:
>  >  >  
> > > [mm]y_p=A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)[/mm]
>  >  >  
> > > Was erhältst Du für A=0 und B=-1 ?
>  >  >  
> > > FRED
> > [ '-_-] oben einsetzen quasi...
>  >  ja ok, jetzt ists klar. wusste ja  nicht das ich  A=0
> und
> > B=-1 noch oben einsetzen muss
>  
> Was hast Du gedacht. Du kannst mit den beiden auch
> spazieren gehen oder Dich volllaufen lassen ...
>  >  Danke FRED, bist super
>
>
> Danke
>  
> FRED
>  

Ich dachte das sei die Lösung, wie bei [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm]


Bezug
                        
Bezug
Inh. DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:28 Di 27.09.2011
Autor: TheBozz-mismo

Sorry. Doppelpost.
Bezug
                        
Bezug
Inh. DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:57 Di 27.09.2011
Autor: Diophant

Hallo,

der Ansatz gilt nur, wenn der Faktor im Sinus bzw. Kosinus vor dem x nicht Lösung der charakteristischen Gleichung ist. Das muss ich dir ja dazuschreiben, auch wenn es hier keine Rolle spielt!

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Inh. DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:02 Di 27.09.2011
Autor: frank85


> Hallo,
>  
> der Ansatz gilt nur, wenn der Faktor im Sinus bzw. Kosinus
> vor dem x nicht Lösung der charakteristischen Gleichung
> ist. Das muss ich dir ja dazuschreiben, auch wenn es hier
> keine Rolle spielt!
>  
> Gruß, Diophant

aber -1 ist doch Lösung der charakteristischen Gleichung, oder?

Bezug
                                        
Bezug
Inh. DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:21 Di 27.09.2011
Autor: fred97


> > Hallo,
>  >  
> > der Ansatz gilt nur, wenn der Faktor im Sinus bzw. Kosinus
> > vor dem x nicht Lösung der charakteristischen Gleichung
> > ist. Das muss ich dir ja dazuschreiben, auch wenn es hier
> > keine Rolle spielt!
>  >  
> > Gruß, Diophant
> aber -1 ist doch Lösung der charakteristischen Gleichung,
> oder?


Ja

FRED

Bezug
                                        
Bezug
Inh. DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 Di 27.09.2011
Autor: Diophant

Hallo,

> aber -1 ist doch Lösung der charakteristischen Gleichung,
> oder?

aber [mm] k\not=-1 [/mm] :-)

Gruß, Diophant


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