Inhomogene DGL n-ter Ordnung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Mi 09.09.2009 | | Autor: | uecki |
Hallo,
ich habe hier eine inhomogene DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten zu lösen. Die partikuläre Lösung soll mittels der Variation der Koeffizienten ermittelt werden. Ich habe die Aufgabe selbst gelöst und mit der richtigen Lösung verglichen, da ist allerdings kein Weg beschrieben aber die Lösung anders als meine, also folgere ich mal, dass meine Lösung falsch ist. Hoffe jemand sieht meinen Fehler.
Aufgabe: y'' + 3y' + 2y = [mm] \bruch{1}{e^{x} +1}
[/mm]
1. Bestimmung der homogenen Lösung mit dem charakteristischen Polynom: [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] 3\lambda [/mm] + 2 = 0
[mm] \lambda_{1}=-2
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow y_{h}= C_{1}e^{-x} [/mm] + [mm] C_{2}e^{-2x}
[/mm]
Für [mm] y_{p} [/mm] folgt dann:
[mm] y_{p}=C_{1}(x)e^{-x} [/mm] + [mm] C_{2}(x)e^{-2x}
[/mm]
Dann stell ich mein Gleichungssystem auf:
[mm] C_{1}'e^{-x} [/mm] + [mm] C_{2}'e^{-2x} [/mm] = 0
[mm] -C_{1}'e^{-x} [/mm] +-2 [mm] C_{2}'e^{-2x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^{x} +1}
[/mm]
und dann die Matrix:
[mm] \pmat{ e^{-x} & e^{-2x} \\ -e^{-x} & -2e^{-2x} } [/mm] * [mm] \vektor{C_{1}' \\ C_{2}'} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ \bruch{1}{e^{x} +1}}
[/mm]
Dann möchte ich die Matrix lösen:
[mm] \pmat{ e^{-x} & e^{-2x} \\ -e^{-x} & -2e^{-2x} } [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ \bruch{1}{e^{x} +1}}
[/mm]
addiere die 1.Zeile mit der 2. Zeile
[mm] \Rightarrow \pmat{ e^{-x} & e^{-2x} \\ 0 & -e^{-2x} } [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ \bruch{1}{e^{x} +1}}
[/mm]
addiere nun die 2.Zeile zu der 1.Zeile
[mm] \Rightarrow \pmat{ e^{-x} & 0 \\ 0 & -e^{-2x} } [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{e^{x} +1} \\ \bruch{1}{e^{x} +1}}
[/mm]
nehme nun die 1.Zeile [mm] *e^{x} [/mm] und erhalte:
[mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -e^{-2x} } [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{e^{x}}{e^{x} +1} \\ \bruch{1}{e^{x} +1}}
[/mm]
Nun erhalte ich [mm] C_{1}' [/mm] = [mm] \bruch{e^{x}}{e^{x} +1} \Rightarrow C_{1} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{e^{x}}{e^{x} +1} dx} [/mm] = [mm] ln(e^{x} [/mm] + 1)
Für [mm] C_{2}' [/mm] erhalte ich: [mm] -C_{2}'e^{-2x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^{x} +1} [/mm] /: [mm] (-e^{-2x})
[/mm]
[mm] C_{2}' [/mm] = [mm] -e^{x} [/mm] - [mm] e^{2x} \Rightarrow C_{2} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{-e^{x} - e^{2x} dx} [/mm] = [mm] -e^{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}e^{2x}
[/mm]
So, und damit hätte ich ja dann meine Funktionen für die partikuläre Lösung. Aber wie gesagt, irgendwo muss ein Fehler drin stecken.
Danke schon mal 
LG
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Hallo uecki,
> Hallo,
>
> ich habe hier eine inhomogene DGL n-ter Ordnung mit
> konstanten Koeffizienten zu lösen. Die partikuläre
> Lösung soll mittels der Variation der Koeffizienten
> ermittelt werden. Ich habe die Aufgabe selbst gelöst und
> mit der richtigen Lösung verglichen, da ist allerdings
> kein Weg beschrieben aber die Lösung anders als meine,
> also folgere ich mal, dass meine Lösung falsch ist. Hoffe
> jemand sieht meinen Fehler.
>
> Aufgabe: y'' + 3y' + 2y = [mm]\bruch{1}{e^{x} +1}[/mm]
>
> 1. Bestimmung der homogenen Lösung mit dem
> charakteristischen Polynom: [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]3\lambda[/mm] + 2 = 0
> [mm]\lambda_{1}=-2[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=-1[/mm]
> [mm]\Rightarrow y_{h}= C_{1}e^{-x}[/mm] + [mm]C_{2}e^{-2x}[/mm]
>
> Für [mm]y_{p}[/mm] folgt dann:
> [mm]y_{p}=C_{1}(x)e^{-x}[/mm] + [mm]C_{2}(x)e^{-2x}[/mm]
>
> Dann stell ich mein Gleichungssystem auf:
>
> [mm]C_{1}'e^{-x}[/mm] + [mm]C_{2}'e^{-2x}[/mm] = 0
> [mm]-C_{1}'e^{-x}[/mm] +-2 [mm]C_{2}'e^{-2x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{e^{x} +1}[/mm]
>
>
> und dann die Matrix:
>
> [mm]\pmat{ e^{-x} & e^{-2x} \\ -e^{-x} & -2e^{-2x} }[/mm] *
> [mm]\vektor{C_{1}' \\ C_{2}'}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ \bruch{1}{e^{x} +1}}[/mm]
>
> Dann möchte ich die Matrix lösen:
>
> [mm]\pmat{ e^{-x} & e^{-2x} \\ -e^{-x} & -2e^{-2x} }[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ \bruch{1}{e^{x} +1}}[/mm]
> addiere die 1.Zeile mit
> der 2. Zeile
> [mm]\Rightarrow \pmat{ e^{-x} & e^{-2x} \\ 0 & -e^{-2x} }[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ \bruch{1}{e^{x} +1}}[/mm]
> addiere nun die 2.Zeile
> zu der 1.Zeile
> [mm]\Rightarrow \pmat{ e^{-x} & 0 \\ 0 & -e^{-2x} }[/mm] =
> [mm]\vektor{\bruch{1}{e^{x} +1} \\ \bruch{1}{e^{x} +1}}[/mm]
> nehme
> nun die 1.Zeile [mm]*e^{x}[/mm] und erhalte:
> [mm]\Rightarrow \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -e^{-2x} }[/mm] =
> [mm]\vektor{\bruch{e^{x}}{e^{x} +1} \\ \bruch{1}{e^{x} +1}}[/mm]
>
> Nun erhalte ich [mm]C_{1}'[/mm] = [mm]\bruch{e^{x}}{e^{x} +1} \Rightarrow C_{1}[/mm]
> = [mm]\integral_{}^{}{\bruch{e^{x}}{e^{x} +1} dx}[/mm] = [mm]ln(e^{x}[/mm] +
> 1)
Bis hierher ist alles korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Für [mm]C_{2}'[/mm] erhalte ich: [mm]-C_{2}'e^{-2x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{e^{x} +1}[/mm]
> /: [mm](-e^{-2x})[/mm]
> [mm]C_{2}'[/mm] = [mm]-e^{x}[/mm] - [mm]e^{2x} \Rightarrow C_{2}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{-e^{x} - e^{2x} dx}[/mm] = [mm]-e^{x}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}e^{2x}[/mm]
Es ist [mm]C_{2}'=-\bruch{e^{2x}}{e^{x}+1} \not= -e^{x} - e^{2x}[/mm]
>
> So, und damit hätte ich ja dann meine Funktionen für die
> partikuläre Lösung. Aber wie gesagt, irgendwo muss ein
> Fehler drin stecken.
> Danke schon mal
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Mi 09.09.2009 | | Autor: | uecki |
Ok, vielen Dank
Allerdings kommt gerade das nächste Problem...Wie integriere ich das bitte?
LG
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Hallo uecki,
> Ok, vielen Dank
> Allerdings kommt gerade das nächste Problem...Wie
> integriere ich das bitte?
Zunächst wendest Du hier die Substitution [mm]z=e^{x}[/mm] an.
Dann ist
[mm]\integral_{}^{}{-\bruch{e^{2x}}{e^{x}+1} \ dx=\integral_{}^{}{-\bruch{z}{z+1} \ dz[/mm]
Und das kannst Du dann leichter integrieren.
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mi 09.09.2009 | | Autor: | uecki |
Ja, daran habe ich auch schon gedacht. Aber mich stört die 2x als Potenz im Zähler.
Denn wenn [mm] z=e^{x} [/mm] ist, dann ist z'= [mm] e^{x}
[/mm]
Aber im Zähler steht doch [mm] e^{2x} [/mm] ???
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Hallo uecki,
> Ja, daran habe ich auch schon gedacht. Aber mich stört die
> 2x als Potenz im Zähler.
> Denn wenn [mm]z=e^{x}[/mm] ist, dann ist z'= [mm]e^{x}[/mm]
> Aber im Zähler steht doch [mm]e^{2x}[/mm] ???
Das stimmt, aber mit [mm] $z=e^x$ [/mm] ist [mm] $\frac{dz}{dx}=e^x$, [/mm] also [mm] $dx=\frac{dz}{e^x}=\frac{dz}{z}$
[/mm]
Es kürzt sich aus dem [mm] $e^{2x}$ [/mm] (bzw. [mm] $z^2$) [/mm] im Zähler ein [mm] $e^x$ [/mm] (bzw. $z$) weg, so dass du auf den Integranden in MathePowers Antwort kommst
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Mi 09.09.2009 | | Autor: | uecki |
Mh...so ganz verstehe ich das leider immer noch nicht.
Also ich ich hab das jetzt so verstanden:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{e^{2x}}{e^{x}+1} dx} [/mm] z= [mm] e^{x} [/mm] z'= [mm] \bruch{dz}{dx}= e^{x}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{e^{x}*e^{x}}{e^{x}+1} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{z^{2}}{z+1} dz}
[/mm]
So, aber dann komme ich schon wieder nicht weiter. Sehe nicht wo sich das kürzt. Mal abgesehen davon, ob das überhaupt richtig ist...
LG
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Hallo uecki,
> Mh...so ganz verstehe ich das leider immer noch nicht.
>
> Also ich ich hab das jetzt so verstanden:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{e^{2x}}{e^{x}+1} dx}[/mm] z= [mm]e^{x}[/mm] z'=
> [mm]\bruch{dz}{dx}= e^{x}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{e^{x}*e^{x}}{e^{x}+1} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{z^{2}}{z+1} dz}[/mm]
Nun, das "dx" mußt Du auch ersetzen.
Aus [mm]z=e^{x}[/mm] folgt [mm]dz=e^{x} \ dx = z \ dx \Rightarrow dx = \bruch{1}{z} \ dz[/mm]
Das eingesetzt ergibt das Integral
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{z}{z+1} \ dz}[/mm]
>
> So, aber dann komme ich schon wieder nicht weiter. Sehe
> nicht wo sich das kürzt. Mal abgesehen davon, ob das
> überhaupt richtig ist...
> LG
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Mi 09.09.2009 | | Autor: | uecki |
Ok. Vielen vielen Dank. Hab es jetzt richtig
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