Inhomogene DGl. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Di 16.11.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Gegeben ist die Gl.
[mm] y'-2\bruch{y}{x}=2x^{3}
[/mm]
Das muss ich ja jetzt zuerst in Homogen umwandeln, oder?
[mm] y'-2\bruch{y}{x}=0
[/mm]
[mm] y'=2\bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=2\bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{y}=2\bruch{dx}{x}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dy}{y}}=2\integral_{}^{}{\bruch{dx}{x}}
[/mm]
ln|y|=2ln|x|+C
Wäre das soweit erst einmal ok?
Danke
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Hallo Ice-Man,
> Gegeben ist die Gl.
>
> [mm]y'-2\bruch{y}{x}=2x^{3}[/mm]
>
> Das muss ich ja jetzt zuerst in Homogen umwandeln, oder?
Ja, zuerst ist die homogene DGL zu lösen.
>
> [mm]y'-2\bruch{y}{x}=0[/mm]
>
> [mm]y'=2\bruch{y}{x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}=2\bruch{y}{x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{y}=2\bruch{dx}{x}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y}}=2\integral_{}^{}{\bruch{dx}{x}}[/mm]
>
> ln|y|=2ln|x|+C
>
> Wäre das soweit erst einmal ok?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Danke
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Di 16.11.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Jetzt mal angenommen, ich "bennene die Konstante anders".
Dann könnte ich als Lösung ja auch erhalten.
ln|y|=2ln|x|+ln|C|
das müsste ja auch noch korrekt sein, oder?
Und dann wäre ja,
ln|y|=2ln|Cx|
y=2Cx die Lösung der Homogenen DGL, wäre das auch noch korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Mi 17.11.2010 | | Autor: | leduart |
hallo iceman
ja, aber sowas kannst du selbst durch einsetzen ja nachprüfen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:33 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Ok, danke erst einmal.
Und sorry aber ich muss das jetzt mal "Schritt für Schritt" machen, damit ich das verstehe.
Wenn ich die "inhomogene DGl" lösen will, dann muss ich jetzt doch einen "Ansatz erstellen", mit der Lösung die ich von der "homogenen" erhalten habe.
Jetzt würde ich sagen:
y=2Cx
y'=2C'*x+2C
Und das würde ich jetzt in die "inhomogene Ausgangsgleichung" einsetzen.
Wäre meine denkweise soweit korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:49 Mi 17.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok, danke erst einmal.
> Und sorry aber ich muss das jetzt mal "Schritt für
> Schritt" machen, damit ich das verstehe.
>
> Wenn ich die "inhomogene DGl" lösen will, dann muss ich
> jetzt doch einen "Ansatz erstellen", mit der Lösung die
> ich von der "homogenen" erhalten habe.
>
> Jetzt würde ich sagen:
>
> y=2Cx
> y'=2C'*x+2C
>
> Und das würde ich jetzt in die "inhomogene
> Ausgangsgleichung" einsetzen.
>
> Wäre meine denkweise soweit korrekt?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Dann "setze ich das jetzt mal ein".
[mm] y'-2\bruch{y}{x}=2x^{3}
[/mm]
[mm] 2C'*x+2C-2\bruch{2C*x}{x}=2x^{3}
[/mm]
[mm] 2C'x+2C-\bruch{4Cx}{x}=2x^{3}
[/mm]
[mm] 2C'x+2C-4C=2x^{3}
[/mm]
[mm] 2C'x-2C=2x^{3}
[/mm]
[mm] C'x-C=x^{3}
[/mm]
Und jetzt weis ich nicht so wirklich weiter, weil mich dieses "C" irritiert.
Habe ich einen Fehler gemacht?
Bzw. kann mir jemand einen Tipp geben?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Mi 17.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hatte in einem früheren post einen Fehler übersehen!
du hast aber auch nicht -wie empfohlen- eingesetzt
aus
ln|y|=2ln|Cx|
folgt nicht y=2cx
sondern [mm] y=cx^2
[/mm]
damit gehts dann auch mit der inh. richtig.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Ok,
aber kannst du mir bitte vielleicht noch einmal erklären wie aus
ln|y|=2ln|Cx|
[mm] y=Cx^{2} [/mm] folgt?
Das verstehe ich noch nicht ganz.
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Mi 17.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok,
>
> aber kannst du mir bitte vielleicht noch einmal erklären
> wie aus
>
> ln|y|=2ln|Cx|
>
> [mm]y=Cx^{2}[/mm] folgt?
Für a>0 ist 2ln(a)= [mm] ln(a^2)
[/mm]
>
> Das verstehe ich noch nicht ganz.
Wie leduart habe auch ich diesen Fehler übersehen
FRED
>
> Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Ok, jetzt habe ich als Lösung der Homogenen DGl
[mm] y=Cx^{2}
[/mm]
[mm] y'=C'x^{2}+2Cx
[/mm]
Und das setze ich ja jetzt ein:
[mm] y'-2\bruch{y}{x}=2x^{3}
[/mm]
[mm] C'x^{2}+2Cx-2\bruch{Cx^{2}}{x}=2x^{3}
[/mm]
[mm] C'x^{2}+2Cx-2Cx=2x^{3}
[/mm]
C'=2x
[mm] C=x^{2}
[/mm]
Das ist ja noch nicht ganz richtig. Welchen Schritt müsste ich jetzt als nächsten vornehmen?
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Hallo Ice-Man,
> Ok, jetzt habe ich als Lösung der Homogenen DGl
>
> [mm]y=Cx^{2}[/mm]
> [mm]y'=C'x^{2}+2Cx[/mm]
>
> Und das setze ich ja jetzt ein:
>
> [mm]y'-2\bruch{y}{x}=2x^{3}[/mm]
>
> [mm]C'x^{2}+2Cx-2\bruch{Cx^{2}}{x}=2x^{3}[/mm]
>
> [mm]C'x^{2}+2Cx-2Cx=2x^{3}[/mm]
>
> C'=2x
>
> [mm]C=x^{2}[/mm]
>
> Das ist ja noch nicht ganz richtig. Welchen Schritt müsste
> ich jetzt als nächsten vornehmen?
>
Diese Lösung hast Du ja durch den Ansatz
[mm]y_{x}=C\left(x\right)*x^{2}[/mm]
erhalten.
Multipliziere das erhaltene C gemäß dem Ansatz mit [mm]x^{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mi 17.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ausser der fehlenden Integrationskonstante richtig. als [mm] C(x)=x^2+C1
[/mm]
jetzt C(x) in deine lösung [mm] y=C(c)*x^2 [/mm] einsetzen und du bist fertig.
die Probe nicht vergessen, also das gesamtresultad in die inh. dgl einsetzen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Also ich weis ja nicht, ob ich dich richtig verstehe.
Aber ich kann dann wenn ich die Lösung einer inhomogenen DGL bestimmen will, die Formel
[mm] y_{inhomogen}=y_{homogen}+y_{partikulaer}
[/mm]
"vernachlässigen" wenn ich gleich mit dem "Ansatz" multipliziere?
Oder habe ich da etwas falsch verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Mi 17.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du brauchst die formel [mm] y=y_h+y_p [/mm] nur, wenn du eine part. lösung rätst oder siehst.
hier wär es leicht gewesen [mm] x^4 [/mm] zu raten. und durch einsetzen zu bestätigen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Wie meinst du das "zu raten"?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Mi 17.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit ein bissel Erfahrung springen einem einfach Lösungen ins Auge.
hier war es naheliegend [mm] y=a*x^4 [/mm] zu versuchen weil ja dann sowohl y' wie y/xx wieder was mit [mm] x^3 [/mm] geben.
hätte rechts [mm] x^7 [/mm] gestanden hät ichs mit [mm] y=ax^8 [/mm] versucht, eingestzt und a bestimmt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Also
[mm] y_{partikulaer}=Cx^{2}+x^{4}
[/mm]
Und das müsste ich jetzt doch noch mit der "homogenen" addieren?
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Hallo Ice-Man,
> Also
>
> [mm]y_{partikulaer}=Cx^{2}+x^{4}[/mm]
>
> Und das müsste ich jetzt doch noch mit der "homogenen"
> addieren?
Das ist schon die allgemeine Lösung der DGL.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Aber wenn ich das mal so formulieren würde, das man es als Summe ausschreiben tut.
Also,
[mm] y_{inhomogen}=y_{partikulaer}+y_{homogen} [/mm]
wie würde das dann ausschauen?
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Hallo Ice-Man,
> Aber wenn ich das mal so formulieren würde, das man es als
> Summe ausschreiben tut.
>
> Also,
>
> [mm]y_{inhomogen}=y_{partikulaer}+y_{homogen}[/mm]
>
> wie würde das dann ausschauen?
>
[mm]y_{partikulaer}[/mm] ist [mm]x^{4}[/mm]
[mm]y_{homogen}[/mm] ist [mm]C*x^{2}[/mm]
Dann ist
[mm]y_{inhomogen}=y_{partikulaer}+y_{homogen}=x^{4}+C*x^{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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