Inhomogene DGl berechnen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe ne Frage zu obenstehender inhomogener DGL bei der ich mir im Lösungsweg absiolut unsicher bin!Wäre schön, wenn mir jmd. einen Tipp geben könnte bzw. sagen kann ob meine bisherige Rechnung stimmt. Schonmal "Dankeschön" dafür!
Meine Vorgehensweise:
1. Homogene berechnen:
--> die sollte y= ln(x*C) sein. C= integrationskonstante
2. Ableiten der Homogenen:
y= ln(x*C)
[mm] y'=\bruch{1}{x*C}*C
[/mm]
In der Ableitung kürzen sich die [mm] C-_>\bruch{1}{x}.
[/mm]
3. Einsetzten:
ich erhalte:
[mm] x*(\bruch{1}{x})-ln [/mm] (x*C) = x³+1
Das erste Glied ist 1 deshalb:
1-ln (x*C) = x³+1
und den ln kann man ja mit e wegbekommen deshalb:
1-ln (x*C) = x³+1
1= x³+1 ( x*C)
1-x³-1= x*C
-x²=C
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 So 13.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo breitmaulfrosch
y'*x=y; dy/y=dx=x ; lny=lnx+c y=C*x
Du solltest so einfache Lösungen immer in die Dgl einsetzen, um sie zu überprüfen. dann vermeidest du so Leichtsinnsfehler, die ja immer mal passieren.
Gruss leduart
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Hallo Leduart!
Danke für Deine Antwort. Ehrlich gesagt hat mich das Ergebnis der Homogenen mit dem "ln" selber etwas gestört, doch habe ich mich entschlossen es so beizubehalten. Grund dafür ist eine Aufgabe im "Papula" die lautet y'= [mm] e^{x}*e^{-y} [/mm] mit dem AWP y(0)=1 zu bestimmen.
Dabei wird gerechnet:
[mm] dy/dx=e^{x}*e^{-y}
[/mm]
[mm] e^{y}dy [/mm] = [mm] e^{x}dx
[/mm]
Integration dieser Gleichung liefert laut Lösung y= [mm] ln(e^{x}+C) [/mm] un damit für C= e-1.
Warum geht man dann bei meiner Aufgabe anders vor?
Grüße
breitmaulfrosch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 So 13.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo Leduart!
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> y'=
> [mm]e^{x}*e^{-y}[/mm] mit dem AWP y(0)=1 zu bestimmen.
>
> Dabei wird gerechnet:
> [mm]dy/dx=e^{x}*e^{-y}[/mm]
> [mm]e^{y}dy[/mm] = [mm]e^{x}dx[/mm]
> Integration dieser Gleichung liefert laut Lösung y=
> [mm]ln(e^{x}+C)[/mm] un damit für C= e-1.
Da fehlt ein Zwischenschritt:
[mm] e^y=e^x+C
[/mm]
dann beide Seiten mit ln
kommt [mm] ln(e^y)=ln(e^x+C)
[/mm]
[mm] y=ln(e^x+C)
[/mm]
y(0)=1 folgt ln(1+C)=1 oder 1+C=e
>
> Warum geht man dann bei meiner Aufgabe anders vor?
Deine Aufgabe entsprechend: y'=y/x
dy/y=dx/x
lny=lnx+C
[mm] e^{lny}=e^{lnx+C}
[/mm]
[mm] y=e^{lnx}*e^C
[/mm]
[mm] y=x*e^C
[/mm]
jetzt schreibt man oft statt [mm] e^C=c
[/mm]
und damit y=c*x
In beiden Fällen kannst du das Ergebnis in die ursprüngliche Dgl einsetzen und nachprüfen.
Ich hoffe jetzt ist es klar.
Gruss leduart
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Vielen Dank für die ausführliche antwort, jetzt ist es mir echt klar geworden!
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