Inhomogene Gleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Fr 25.09.2009 | | Autor: | uecki |
Hallo,
Satz:
Die inhomogene Gleichung u'=Au +s
Ist s(t) in einer Umgebung von [mm] t_0 [/mm] stetig, so ist das Anfangswertproblem in dieser Umgebung eindeutig lösbar.
Beweis:
u(t) = [mm] e^{A*(t-t_{0})}*u_{0} [/mm] + [mm] \integral_{t_{0}}^{t}{e^{A*(t-\tau)}*s(\tau) d\tau}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] u'(t)= [mm] Ae^{A*(t-t_{0})}*u_{0} [/mm] + [mm] Ae^{At}*\integral_{t_0}^{t}{e^{A\tau}*s(\tau) d\tau} [/mm] + [mm] e^{-At}*e^{At}*s(t)
[/mm]
= A [ [mm] e^{A*(t-t_{0})}*u_{0} [/mm] + [mm] e^{At}*\integral_{t_0}^{t}{e^{A\tau}*s(\tau) d\tau}] [/mm] + s(t)
So, irgendwie verstehe ich den Beweis nicht richtig. Was zeige ich mit u(t) = [mm] e^{A*(t-t_{0})}*u_{0} [/mm] + [mm] \integral_{t_{0}}^{t}{e^{A*(t-\tau)}*s(\tau) d\tau} [/mm] ? Das soll die Lösung sein, oder was?
Und warum bilde ich danach die Ableitung? Was sagt mir das alles?
Habe leider keine eigenen Ansätze...
Hoffe mir kann jemand helfen.
Danke schon mal.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Fr 25.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Satz:
> Die inhomogene Gleichung u'=Au +s
> Ist s(t) in einer Umgebung von [mm]t_0[/mm] stetig, so ist das
> Anfangswertproblem in dieser Umgebung eindeutig lösbar.
>
> Beweis:
> u(t) = [mm]e^{A*(t-t_{0})}*u_{0}[/mm] +
> [mm]\integral_{t_{0}}^{t}{e^{A*(t-\tau)}*s(\tau) d\tau}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] u'(t)= [mm]Ae^{A*(t-t_{0})}*u_{0}[/mm] +
> [mm]Ae^{At}*\integral_{t_0}^{t}{e^{A\tau}*s(\tau) d\tau}[/mm] +
> [mm]e^{-At}*e^{At}*s(t)[/mm]
> = A [ [mm]e^{A*(t-t_{0})}*u_{0}[/mm] +
> [mm]e^{At}*\integral_{t_0}^{t}{e^{A\tau}*s(\tau) d\tau}][/mm] +
> s(t)
>
> So, irgendwie verstehe ich den Beweis nicht richtig. Was
> zeige ich mit u(t) = [mm]e^{A*(t-t_{0})}*u_{0}[/mm] +
> [mm]\integral_{t_{0}}^{t}{e^{A*(t-\tau)}*s(\tau) d\tau}[/mm] ? Das
> soll die Lösung sein, oder was?
> Und warum bilde ich danach die Ableitung? Was sagt mir das
> alles?
Die Funktion u wird def. durch
u(t) = [mm]e^{A*(t-t_{0})}*u_{0}[/mm] + [mm]\integral_{t_{0}}^{t}{e^{A*(t-\tau)}*s(\tau) d\tau}[/mm]
Dann wird gezeigt, dass u eine Lösung von u'=Au +s ist (dafür muß nun halt mal differenziert werden !)
Das war alles
FRED
> Habe leider keine eigenen Ansätze...
> Hoffe mir kann jemand helfen.
> Danke schon mal.
> LG
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Fr 25.09.2009 | | Autor: | uecki |
Aber wieso sieht man denn an der Ableitung das es die Lösung ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Fr 25.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Wir haben:
u'(t)= A [ $ [mm] e^{A\cdot{}(t-t_{0})}\cdot{}u_{0} [/mm] $ + $ [mm] e^{At}\cdot{}\integral_{t_0}^{t}{e^{A\tau}\cdot{}s(\tau) d\tau}] [/mm] $ + s(t)
Und was steht in der eckigen Klammer [.....] (bis auf eine Schreibfehler von Dir [mm] (e^{A(-\tau)} [/mm] statt [mm] e^{A\tau}) [/mm] ???
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Fr 25.09.2009 | | Autor: | uecki |
In der eckigen Klammer steht dann wieder u(t).
Also steht da im Prinzip u'(t)= A*u(t) + s(t), und daran sehe ich ja, das die Gleichung erfüllt ist. Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Fr 25.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Bingo ! Und damit ist u eine Lösung
FRED
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