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| Aufgabe | Für welches [mm] a\in\IR [/mm] besitzt das folgende Gleichungssystem unendlich viele Lösungen
mit einem Parameter [mm] \lambda\in\IR? [/mm] Wie lauten diese Lösungen?
[mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] ax_{2} [/mm] [mm] x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{14}{3}
[/mm]
[mm] 2x_{1} [/mm] [mm] x_{2} [/mm] [mm] 2x_{3} [/mm] = 5
[mm] 5x_{1} [/mm] + [mm] 8x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 4 |
Moin,
Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und bin mir nich genau sicher wie sie (am besten bzw wie genau) zu lösen ist.
Ich habe als erstes a ausgerechnet, in dem ich die Determinante der, aus der Aufgabe resultierenden, Matrix gleich 0 gesetzt habe.
Da kommt sowas raus wie: (-3) - 10a -16 -5 +48 -2a = 0 => a = 2
Doch jetzt gerate ich ins stocken...
Jetzt muss ich ja einen der X-Werte gleich [mm] \lambda [/mm] setzen um so den [mm] \vec{x} [/mm] zu bekommen.
Nun meine Frage: Muss/sollte ich dafür die Matrix zuerst in die Trapezform bringen, wenn ja wäre es dann sinniger eben auch so a zu bestimmen? In diesem Falle wäre a nämlich ablesbar:
[mm] \pmat{ 2 & -1 & -2 & | 5 \\ 0 & 21 & 12 & | -17 \\ 0 & 6a-9 & 12 & | -17 }
[/mm]
=> 21 = 6a-9 => a = 2
jetzt könnte man zB [mm] x_{3} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] setzen und weiterrechnen..
Oder geht das auch einfacher, wenn man noch keine Trapezform hat?
Vielen Danke und freundlich Grüße
DerderSichsichnennt
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> Für welches [mm]a\in\IR[/mm] besitzt das folgende Gleichungssystem
> unendlich viele Lösungen
> mit einem Parameter [mm]\lambda\in\IR?[/mm] Wie lauten diese
> Lösungen?
> [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]ax_{2}[/mm] [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\bruch{14}{3}[/mm]
> [mm]2x_{1}[/mm] [mm]x_{2}[/mm] [mm]2x_{3}[/mm] = 5
> [mm]5x_{1}[/mm] + [mm]8x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 4
> Moin,
>
> Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und bin mir nich genau
> sicher wie sie (am besten bzw wie genau) zu lösen ist.
>
> Ich habe als erstes a ausgerechnet, in dem ich die
> Determinante der, aus der Aufgabe resultierenden, Matrix
> gleich 0 gesetzt habe.
>
> Da kommt sowas raus wie: (-3) - 10a -16 -5 +48 -2a = 0 => a
> = 2
>
Hallo,
damit weißt Du, daß die Koeffizientenmatrix lediglich für a=2 nicht den Rang 3 hat.
Es kann also nur für a=2 mehr als eine Lösung geben.
Ich würde nun dieses a direkt in die Matrix einsetzen, die matrix auf ZSF bringen und das System lösen.
> Doch jetzt gerate ich ins stocken...
>
> Jetzt muss ich ja einen der X-Werte gleich [mm]\lambda[/mm] setzen
> um so den [mm]\vec{x}[/mm] zu bekommen.
>
> Nun meine Frage: Muss/sollte ich dafür die Matrix zuerst in
> die Trapezform bringen, wenn ja wäre es dann sinniger eben
> auch so a zu bestimmen? In diesem Falle wäre a nämlich
> ablesbar:
>
> [mm]\pmat{ 2 & -1 & -2 & | 5 \\ 0 & 21 & 12 & | -17 \\ 0 & 6a-9 & 12 & | -17 }[/mm]
>
> => 21 = 6a-9 => a = 2
Dieses Ergebnis a=2 ist nicht überraschend, Du kennst es ja von oben bereits,
EDIT:
überraschend ist allerdings, daß 21=6*2 - 9 ist. (Dank an Fred für den Hinweis)
Beim Umformen der Matrix muß Dir irgendwo ein Fehler unterlaufen sein.
> jetzt könnte man zB [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\lambda[/mm] setzen und
> weiterrechnen..
>
> Oder geht das auch einfacher, wenn man noch keine
> Trapezform hat?
Es wäre sicher einfacher gewesen, die Umformung der Matrix gleich mit der eingesetzten 2 vorzunehmen. (Ich habe Deine Matrix übrigens nicht nachgerechnet.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Fr 06.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Für welches [mm]a\in\IR[/mm] besitzt das folgende Gleichungssystem
> > unendlich viele Lösungen
> > mit einem Parameter [mm]\lambda\in\IR?[/mm] Wie lauten diese
> > Lösungen?
> > [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]ax_{2}[/mm] [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\bruch{14}{3}[/mm]
> > [mm]2x_{1}[/mm] [mm]x_{2}[/mm] [mm]2x_{3}[/mm] = 5
> > [mm]5x_{1}[/mm] + [mm]8x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 4
> > Moin,
> >
> > Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und bin mir nich genau
> > sicher wie sie (am besten bzw wie genau) zu lösen ist.
> >
> > Ich habe als erstes a ausgerechnet, in dem ich die
> > Determinante der, aus der Aufgabe resultierenden, Matrix
> > gleich 0 gesetzt habe.
> >
> > Da kommt sowas raus wie: (-3) - 10a -16 -5 +48 -2a = 0 => a
> > = 2
> >
>
> Hallo,
>
> damit weißt Du, daß die Koeffizientenmatrix lediglich für
> a=2 nicht den Rang 3 hat.
>
> Es kann also nur für a=2 mehr als eine Lösung geben.
>
> Ich würde nun dieses a direkt in die Matrix einsetzen, die
> matrix auf ZSF bringen und das System lösen.
>
> > Doch jetzt gerate ich ins stocken...
> >
> > Jetzt muss ich ja einen der X-Werte gleich [mm]\lambda[/mm] setzen
> > um so den [mm]\vec{x}[/mm] zu bekommen.
> >
> > Nun meine Frage: Muss/sollte ich dafür die Matrix zuerst in
> > die Trapezform bringen, wenn ja wäre es dann sinniger eben
> > auch so a zu bestimmen? In diesem Falle wäre a nämlich
> > ablesbar:
> >
> > [mm]\pmat{ 2 & -1 & -2 & | 5 \\ 0 & 21 & 12 & | -17 \\ 0 & 6a-9 & 12 & | -17 }[/mm]
>
> >
> > => 21 = 6a-9 => a = 2
>
> Dieses Ergebnis ist nicht überraschend, Du kennst es ja von
> oben bereits.
>
Mich überrascht diese Implikation durchaus: 21 = 6a-9 => a = 2.
Wenn das richtig wäre, so wäre 21=3
FRED
>
> > jetzt könnte man zB [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\lambda[/mm] setzen und
> > weiterrechnen..
> >
> > Oder geht das auch einfacher, wenn man noch keine
> > Trapezform hat?
>
> Es wäre sicher einfacher gewesen, die Umformung der Matrix
> gleich mit der eingesetzten 2 vorzunehmen. (Ich habe Deine
> Matrix übrigens nicht nachgerechnet.)
>
> Gruß v. Angela
>
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> > > [mm]\pmat{ 2 & -1 & -2 & | 5 \\ 0 & 21 & 12 & | -17 \\ 0 & 6a-9 & 12 & | -17 }[/mm]
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> >
> > >
> > > => 21 = 6a-9 => a = 2
> >
> > Dieses Ergebnis ist nicht überraschend, Du kennst es ja von
> > oben bereits.
> >
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> Mich überrascht diese Implikation durchaus: 21 = 6a-9 => a
> = 2.
>
> Wenn das richtig wäre, so wäre 21=3
Hallo,
mod 3 wäre das ja immerhin der Fall.
Da war ich wohl etwas zu sehr auf a=2 fixiert.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Fr 06.02.2009 | | Autor: | fred97 |
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> > > > [mm]\pmat{ 2 & -1 & -2 & | 5 \\ 0 & 21 & 12 & | -17 \\ 0 & 6a-9 & 12 & | -17 }[/mm]
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> > > > => 21 = 6a-9 => a = 2
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> > > Dieses Ergebnis ist nicht überraschend, Du kennst es ja von
> > > oben bereits.
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> > Mich überrascht diese Implikation durchaus: 21 = 6a-9 => a
> > = 2.
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> > Wenn das richtig wäre, so wäre 21=3
>
> Hallo,
>
> mod 3 wäre das ja immerhin der Fall.
Da haben wir aber noch einmal Glück gehabt !!
FRED
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> Da war ich wohl etwas zu sehr auf a=2 fixiert.
>
> Gruß v. Angela
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Das war ein Fehler meiner Seits: Muss natürlich 6a+9 = 21 lauten und so passt das dann mit a = 2.
Da: (21 - 9) / 6 = 2 
Vielen Dank für die Hilfe und schöne Grüße
Sich
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