Inhomogenes LGS lösen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | LGS auf Lösbarkeit untersuchen und ggf. alle Lösungen bestimmen: [mm] A:=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 8 & 11 \\ 1 & 0 & -1 & -2}*\pmat{ x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4}=\pmat{ 5 \\ 12 \\ 1 } [/mm] |
Ich weiß also bereits direkt das ich mindestens eine Variable frei Wählen kann da der maximal mögliche Rang der Koeffizientenmatrix kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten.
Naja also habe ich mit Gauß erst einmal die Zeilenstufenform kredenzt (jetzt als erweiterte Koeffizientenmatrix geschrieben):
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Jetzt ist der Rang der Koeffizientenmatrix also 2 und der Rand der erweiteren Koeffizientenmatrix ebenfalls 2. Ich muss als zwei Variablen frei wählen.
Jetzt war ich mir nicht ganz so sicher wie ich weitermachen soll.
Also wähle x3, x4 [mm] \in\IR [/mm] beliebig x3 bezeichne ich als [mm] \alpha [/mm] und x4 als [mm] \beta. [/mm] Somit erhalte ich für die zweite Gleichung:
[mm] \Rightarrow x2+2\alpha+3\beta=2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x2 = [mm] 2-2\alpha+3\beta
[/mm]
In die erste Gleichung
[mm] \Rightarrow x1+2*(2-2\alpha+3\beta)+3\alpha+4\beta=5
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x1 = [mm] 1+\alpha-10\beta
[/mm]
Stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Di 15.07.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo SturmGhost,
ja, da hast Du richtig gerechnet. Zwei Variablen sind frei wählbar.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Di 15.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> [mm]\Rightarrow x2+2\alpha+3\beta=2[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] x2 = [mm]2-2\alpha\red{-}3\beta[/mm]
>
Achtung - Vorzeichenfehler!
Gruß RMix
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Hui, das stimmt.
Also x2 = [mm] 2-2\alpha-3\beta
[/mm]
und x1= [mm] 1+\alpha+2\beta
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Di 15.07.2014 | | Autor: | Herby |
Hallo SturmGhost,
> Hui, das stimmt.
>
> Also x2 = [mm]2-2\alpha-3\beta[/mm]
>
> und x1= [mm]1+\alpha+2\beta[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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