Inj. Abb. von A nach A ist bij < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:56 So 05.06.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Sei [mm] M_n:=[/mm] [mm]\{ k \in \IN : k \le n \}[/mm] . Zeigen Sie durch
vollständige Induktion, dass jede injektive Abbildung f: [mm] M_n[/mm] [mm]\to[/mm] [mm] M_n [/mm] schon bijektiv ist.
Hinweis: Betrachten Sie auf Mn+1 die Abbildung g [mm]\circ[/mm] f mit
g: [mm] M_{n+1}[/mm] [mm]\to[/mm] [mm] M_{n+1}, [/mm] g(j) := [mm]\ \begin{cases} n+1, & \mbox{für } j \mbox{ = f(n+1)} \\ f(n+1), & \mbox{für } j \mbox{ = n+1} \\ j, & \mbox{sonst } \end{cases} \[/mm] |
Servus,
beim Induktionsanfang und der Vorraussetzung habe ich keine Probleme.
Beim Induktionsschritt fehlt mir allerdings ein wenig der Überblick.
n [mm] \to [/mm] n+1
also bildet f: [mm] M_{n+1} \to M_{n+1} [/mm] ab.
Wenn jetzt g das gleiche tut also g: [mm] M_{n+1} \to M_{n+1} [/mm] und ich die beiden Abbildungen mit g [mm] \circ [/mm] f verknüpfe, habe ich eine Abblidung h: [mm] M_{n+1} \to M_{n+1}.
[/mm]
Hier verstehe ich schonmal nicht, warum ich 3 Abbdildungen brauche, die im Prinzip das gleiche tun.
So jetzt sind aber oben g noch einnige Eigenschaften zugewiesen.
Ich denke mal ich muss über g auf die Induktionsvorraussetzung kommen (also g: [mm] M_n \to M_n) [/mm] und da dann noch irgendwie auf f schließen.
Wie ich das mache weiß ich im Moment gar nicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 07.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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