Injek./det//konvex/submulti.M < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei M [mm] \subset \IR^n [/mm] offen und konvex und ||.|| eine submultiplikative Matrixnorm. f : M [mm] \to \IR^n [/mm] sei stetig differenzierbar. mit det(Df(x)) [mm] \not= [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] M. Ferner gebe es eine invertierbare n x n Matrix A mit der Eigenschaft:
|| I - Df(x) [mm] \* A^{-1} [/mm] || < 1
Zeige, dass f dann ein Diffeomorphismus auf ganz M ist, d.h. f ist auf ganz M invertierbar. |
huhu,
also gegeben hab ich:
-Konvex
- subm. Matrixnorm ( nach wiki ist dass || A [mm] \* [/mm] B || [mm] \le [/mm] ||A|| [mm] \* [/mm] ||B||
- stetig diffbar
-det Df(x) [mm] \not= [/mm] 0 ,also invertierbar
- eine Matrix [mm] A^{-1} \in [/mm] nxn Matriz die vorgegeben auch invertierbart ist
mit der (schwer nachvollziehbaren) Eigenschaft:
|| I - Df(x) [mm] \* A^{-1} [/mm] || < 1 (I soll die Einheitsmatrix sein)
nach unserem Übungsleiter sollen wir so rangehen:
z.z. ist die Injektivität:
Widerspruchsbeweis:
Annahme: es existiert ein x und ein x+y mit f(x) = f(x+y) bzw äquivalent
0 = f(x+y) - f(x)
jetzt habe ich einen Satz gefunden
https://vorhilfe.de/forum/Mittelwertsatz/t587269
mit
$ f(x+h)= f(x) + [mm] \left(\integral_{0}^{1} Df(x+h\cdot{}t) dt\right) \cdot{}h [/mm] $
wobei hier mein h = y ist.
dann komm ich doch auf
0 = f(x) - f(x) + [mm] (\integral_{0}^{1}{Df(x+y\*t) dt}) \* [/mm] y
jetzt muss ich ja "nur" noch für mein Widerpsruchsbeweis zeigen, dass
[mm] (\integral_{0}^{1}{Df(x+y\*t) dt}) \* [/mm] y ungleich Null ist
weiß jemand wie ich das zeigen kann?
Gruß,
Eve
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 09.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Die Aufgabe ist wahrscheinlich wirklich so schwer, wie sie mir erschien. Selbst unsere beste Komilitonin weiß keine Lösung.
Ich hoffe aber, dass sich noch jemand hier finden wird, der weiß, wie weitergeht ;P
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 So 10.06.2012 | | Autor: | SEcki |
> Ich hoffe aber, dass sich noch jemand hier finden wird, der
> weiß, wie weitergeht ;P
Vielleicht als Idee: Falls A die Einheitsmatrix ist, geht das mit dem Banachschen Fixpunktsatz. Denn dann kann man für ein x OBdA [m]x=f(x)=0[/m] annehmen und dann die Abbildung [m]x\mapsto x-f(x)[/m] betrachten.
SEcki
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huhu
danke für die Antwort ;)
Muss ich dann ne Fallunterscheidung machen, weil A ja nicht vorgegeben ist?
den Fixpunktsatz hatten wir nicht, aber hab ich mir gerade angeguckt.
ist dann bei meiner Kontraktion meine Konstante [mm] \lambda [/mm] das, was bei mir in den betragstrichen steht aus der Aufgabenstellung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 12.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 11.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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