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| Aufgabe | | Konstruiere eine Injektion (Surjektion) A [mm] \to [/mm] B. |
Für eine Prüfung sollte ich wissen, wie man für verschiedene gegebene Mengen Injektionen, Surjektionen (und Bijektionen) konstruiert.
Satz von Bernstein etc. sind mir bekannt. Hier geht es nicht um die Theorie oder um konkrete Beispiele - von denen kenne ich genug - nur wäre ich selber nie darauf gekommen.
Mir geht es um ein allgemein gültiges Vorgehen, eine konkrete Injektion/Surjektion zu finden, wenn ich zwei konkrete Mengen habe:
Was analysiere ich zuerst?
Wovon kann ich immer ausgehen?
Welche Ideen kann ich für welche Mengen anwenden (die Abzählbarkeit der Primzahlen, oder die Bijektion von [mm] \IR [/mm] nach [0,1] etc.)
Vielen Dank für eure Hilfe!
Cassiopaya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:37 Mo 08.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Cassiopaya!
Was machen die Sterne?
> Konstruiere eine Injektion (Surjektion) A [mm]\to[/mm] B.
>
> Für eine Prüfung sollte ich wissen, wie man für
> verschiedene gegebene Mengen Injektionen, Surjektionen (und
> Bijektionen) konstruiert.
Nun, das ist aber sehr, sehr allgemein gesprochen.
> Satz von Bernstein etc. sind mir bekannt. Hier geht es
> nicht um die Theorie oder um konkrete Beispiele - von denen
> kenne ich genug - nur wäre ich selber nie darauf
> gekommen.
Das ist meistens so. Das ist ein wenig wie beim Integrieren: es gibt kein ![[]](/images/popup.gif) Schema F. Man schaut sich bekannte Techniken an, rechnet ganz ganz viele Beispiele, probiert selber rum, ... Irgendwann bekommt man einige Integrale geloest, andere aber immer noch nicht. Es wird immer Integrale geben, die man nicht geloest bekommt, egal wieviel Muehe man sich gibt. (Bei manchen kann man sogar beweisen, dass es nicht so geht wie man's gern haette.)
> Mir geht es um ein allgemein gültiges Vorgehen, eine
> konkrete Injektion/Surjektion zu finden, wenn ich zwei
> konkrete Mengen habe:
>
> Was analysiere ich zuerst?
Kommt dir das Schema bekannt vor? Hast du aehnliche Mengen schonmal gesehen? Hast du einen spontanen Verdacht / eine Vermutung, ob eine solche Injektion / Surjektion ueberhaupt existiert?
> Wovon kann ich immer ausgehen?
Bei gegebenen Aufgaben? Das es moeglich ist eine Injektion/Surjektion zu finden wenn da steht man soll eine angeben, und das sie nicht zu kompliziert ist.
Ansonsten eigentlich nichts 
> Welche Ideen kann ich für welche Mengen anwenden (die
> Abzählbarkeit der Primzahlen, oder die Bijektion von [mm]\IR[/mm]
> nach [0,1] etc.)
Das haengt immer stark von den Mengen ab. Ich denke, bei mir ist es ein Gemisch aus bekannten Bijektionen, die ich verwenden kann, und die Versuche die Menge irgendwie aufzuteilen.
Wenn ich etwa eine Bijektion zwischen [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $\IR[x]$ [/mm] (Polynome) konstruieren will, oder sagen wir einfach nur eine Surjektion [mm] $\IR \to \IR[x]$ [/mm] (die andere Richtung ist einfacher ), wuerde ich erstmal [mm] $\IR[x]$ [/mm] als (nicht disjunkte) Vereinigung der Mengen von Polynomen genau von [mm]\le n[/mm] schreiben (nennen wir die Menge dieser Polynome [mm] $P_n$). [/mm] Dies ist eine abzaehlbare Vereinigung.
Ich versuche also erstmal zu einem $n$ eine Surjektion [mm] $\IR \to P_n$ [/mm] anzugeben, und dann eine Surjektion [mm] $\IR \to \bigcup_{n\in\IN} \IR$ [/mm] (disjunkte Vereinigung). Das letztere ist mehr oder weniger "Standard".
Fuer das erste beachte ich, dass [mm] $P_n$ [/mm] ein $n + 1$-dimensionaler [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] ist, womit es eine Bijektion [mm] $\IR^{n+1} \to P_n$ [/mm] gibt (die ich einfach angeben kann, da ich eine Basis von [mm] $P_n$ [/mm] kenne).
Also fehlt mir eine Surjektion [mm] $\IR \to \IR^{n+1}$. [/mm] Das kann man jetzt per Induktion auf den Fall [mm] $\IR \to \IR^2$ [/mm] zurueckfuehren, bzw. auf $[0, 1] [mm] \to [/mm] [0, [mm] 1]^2$.
[/mm]
So kann ich mir also Schritt fuer Schritt was basteln. Ist zwar nicht so schoen, aber es ist etwas Wie du siehst, hab ich versucht, das Problem immer durch Hinzunahme bekannter Surjektionen oder Bijektionen das Problem zu vereinfachen, bis ich es schliesslich ganz auf bekannte Aussagen zurueckgefuehrt habe.
Aehnlich ist es, wenn ich eine Surjektion von [mm] $\IN$ [/mm] auf die Menge der algebraischen Zahlen konstruieren will. Dazu beachte ich, dass jede algebraische Zahl Nullstelle eines normierten Polynoms in [mm] $\IQ[x] \setminus \IQ$ [/mm] ist. Ein Polynom von Grad $n$ hat $n$ Nullstellen.
Wenn also [mm] $\hat{P}_n$ [/mm] die Menge der Polynome in [mm] $\IQ[x]$ [/mm] von genau Grad $n$ ist, dann kann ich eine Surjektion von [mm] $\bigcup_{n\in\IN_{>0}} (\hat{P}_n \times \{ 1, \dots, n \})$ [/mm] auf die Menge der algebraischen Zahlen angeben, indem ich $(f, i)$ auf die $i$-te Nullstelle (geordnet bzgl. der lexikographischen Ordnung auf [mm] $\IC$) [/mm] von $f$ abbilde.
Nun gibt es Bijektionen [mm] $\IQ^n \to \hat{P}_n$ [/mm] (Koeffizientenvektor eines Polynoms), und weiterhin eine Surjektion [mm] $\IN \to \IQ \to \IQ^n$. [/mm] Ich kann also eine Surjektion [mm] $\IN \to \hat{P}_n$ [/mm] und somit auch eine Surjektion [mm] $\IN \to \hat{P}_n \times \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] angeben kann.
Schliesslich kann ich mit den Standardmethoden eine Surjektion [mm] $\IN \to \bigcup_{n\in\IN_{>0}} \IN$ [/mm] (disjunkte Vereinigung) angeben. Alles zusammengesetzt ergibt eine Surjektion von [mm] $\IN$ [/mm] auf die Menge der natuerlichen Zahlen.
Zusammengefasst wuerde ich sagen, es ist wichtig folgende Konstruktionen zu kennen und versuchen diese zu kombinieren:
- ist $A$ unendlich, so kann man eine Bijektion $A [mm] \to \bigcup_{n\in\IN} [/mm] A$ (disjunkte Vereinigung) angeben;
- mit den Diagonalverfahren bekommt man eine Bijektion [mm] $\IN \to \IN^2$ [/mm] und somit per Induktion eine Bijektion [mm] $\IN \to \IN^n$;
[/mm]
- mit der Dezimalentwicklung bekommt man eine Bijektion $[0, 1] [mm] \to [/mm] [0, [mm] 1]^2$ [/mm] und somit eine Bijektion $[0, 1] [mm] \to [/mm] [0, [mm] 1]^n$;
[/mm]
- das zusammen mit einer Bijektion $[0, 1] [mm] \to \IR$ [/mm] ergibt eine Bijektion [mm] $\IR \to \IR^n$;
[/mm]
- es gibt Bijektionen [mm] $\IN \to \IQ$ [/mm] und [mm] $\IN \to \IZ$ [/mm] (und somit auch [mm] $\IZ \to \IQ$);
[/mm]
- ...
Ich hoffe, das hilft dir etwas weiter...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Cassipaya |
Hallo Felix
Ja, das hilft mir. Denn es bestätigt, dass ich vor lauter Bäumen den Wald nicht gesehen habe und dass ich mich einfach hinter alle Bijektionen, Surjektionen und Injektionen klemmen muss, die ich kenne.
Aber am meisten beruhigt es mich, dass ich nicht einfach zu doof war, ein einfaches Schema F zu erkennen, sondern, dass es wirklich auf Erfahrung und "Try and Error" beruht.
Herzlichen Dank!
Cassiopaya
Ps: Die Sterne stehen heute besser als am Wochenende und sind dir immer hold - vor allem meine 5 :-D
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