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| Aufgabe | Entscheide, ob die Funktionen injektiv oder surjektiv sind
a) [mm] f:\IR \to \IR, [/mm] mit f(x) = [mm] x^2 [/mm] + x + 1
b) [mm] f:\IN \to \IN, [/mm] mit f(x) = [mm] x^2 [/mm] + x + 1
c) [mm] f:\IR \to \IR, [/mm] mit f(x) = [mm] x^3.
[/mm]
d) [mm] f:\IR \to \IR, [/mm] mit [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ist ungleich null} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ ist gleich 0} \end{cases}
[/mm]
e) [mm] f:\IR \setminus \{-2\} \to \IR \setminus \{5\}, [/mm] mit f(x) [mm] =\bruch{5x}{x+2}
[/mm]
f) [mm] f:\IR \to \IR^+, [/mm] mit f(x)=|x-3|+3.
g) [mm] f:\IR^+ \to \IR^+, [/mm] mit f(x)= [mm] 2^x. [/mm] |
Hallo,
ich bemühe mich momentan die oben genannten Aufgaben zu lösen.
Dabei wurde mir immer klarer, dass mir das ganze Thema Probleme bereitet.
Mich würde interresieren, ob ich mit meiner Annahme tatsächlich richtig liege. Ich komme zu dem Ergebnis, dass alle Funktionen Injektiv und Surjektiv sind.
Besonders unsicher bin ich bei:
d) dort scheint mir das Porblem der Definitionslücke durch [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ist ungleich null} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ ist gleich 0} \end{cases} [/mm] behoben zu sein, und somit die Injektivität und die Surjektivität kein Problem.
e)auch hier scheinen die Asymptoten kein Problem zu sein, da [mm] f:\IR \setminus \{-2\} \to \IR \setminus \{5\}vorausgesetz [/mm] wird.
f) Diese Aufgabe ist mein größtes Problem, ich habe hier eine Fallunterscheidung angewendet und bin der Meinung auch diese ist Injektiv und Surjektiv, wobei mich etwas verwundert, dass ich dann zwei verschiedene Umkehrfunktionen bekommen müsste.
Liege ich richtig, sind tatsächlich alle Bijektiv?
Und wenn nicht welche Aufgaben sollte ich mir nochmal vornehmen?
Ich bin für jede Hilfestellung dankbar.
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Hiho,
> Mich würde interresieren, ob ich mit meiner Annahme tatsächlich richtig liege. Ich komme zu dem Ergebnis, dass alle Funktionen Injektiv und Surjektiv sind.
Ganz sicher nicht!
Anscheinend sind dir die Begriffe nicht wirklich klar.
Injektivität: Es gibt keine zwei Ausgangswerte, die den selben Funktionswert liefern.
Surjektivität: Es gibt zu jedem Element des Bildraums einen Ausgangswert, der es als Funktionswert liefert.
Beginnen wir mit der ersten Funktion:
$f: [mm] \IR\to\IR, [/mm] f(x) = [mm] x^2 [/mm] + x + 1 = [mm] \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 [/mm] + [mm] \frac{3}{4}$
[/mm]
Zur Injektivität: Was ist $f(0)$ und was ist $f(-1)$? Ist f also injektiv?
Zur Surjektivität: Wir haben als Bildraum [mm] $\IR$, [/mm] es muss also zu jeder reellen Zahl r ein x geben, so dass $f(x) = r$. Offensichtlich ist auch 0 eine reelle Zahl. Gibt es ein x mit $f(x) = 0$ ?
Gruß,
Gono
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Danke für deine Hilfe.
Tatsächlich habe ich besonders die Surjektivität wohl garnicht verstanden.
Mein 2. Lösungsvorschlag
a) weder In- noch Bijektiv
b) Injektiv, nicht Surjekiv
c) Bijektiv
d) Hier bin ich sehr unsicher.
Ich behaupte mal Injektiv, und wegen (0 für x = 0 ) auch Surjektiv?
e) Injektiv.
Und auch hier bin ich mir unsicher was die Surjektivität angeht.
Ich würde sagen, dass sie nicht Surjektiv ist.
f) nicht Injektiv. Surjektiv
g) Bijektiv
So ich hoffe, dass ich diesmal der Sache näher komme.
Ich bin für jede Hilfestellung dankbar.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Mo 26.09.2016 | | Autor: | Windbeutel |
Danke Dir für Deine Hilfe,
ich glaube jetzt habe ich das einigermaßen verstanden.
Werd mir aber vorsichtshalber noch ein paar Übungsaufgaben suchen.
Danke nocheinmal
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Surjektiv? Was ist z.B. mit $f(x) \ = \ 2$ ?
