Injektiv / Surjektiv ? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Do 17.12.2009 | | Autor: | schumann |
| Aufgabe | geg.:
f: R4 -> R3 : v -> Av
mit A =
1 0 1 1
2 2 4 7
7 4 11 17
(das soll ne 3x4-Matrix sein)
Ist f injektiv / surjektiv? |
wie kann ich das angehen?
surjektiv ist doch, wenn hier für alle elemente aus R3 höchstens ein Element aus R4 existiert. [analog surjektiv, nur mit "mindestens" statt "höchstenms"].
wie kann ich das anwenden?
ist da die abbildungsmatrix überhaupt wichtig?
ode rkann ich sagen, dass R3 ja in den R4 eingebettet ist und damit ja auch alle elemente aus R3 in R4 sind. damit weiß ich aber ncoh nciht, dass diese auch abgebildet werden. also ist die abbildungsvorschrift doch wichtig! ich kann mir das nciht vorstellen.
kann mal bite jemand laut (schirftlich:)) und möglichst nachvollziehbar vordenken? morgen droht eine klausur!
wie geh ich so ne aufgabe an?
ich habe diese frage nur hier gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Do 17.12.2009 | | Autor: | schumann |
ich weiß, dass beides verneint werden muss. aber warum diese antworten stimmen, weiß ich leider nciht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Do 17.12.2009 | | Autor: | pelzig |
Also es ist sehr einfach zu sehen dass $f$ nicht injektiv sein kann, wenn man ein klein wenig lineare Algebra hat. $f$ ist genau dann injektiv wenn der Kern von f trivial ist, d.h. die Dimension 0 hat. Nun gilt aber [mm] $\dim\ker f+\dim\operatorname{im} f=\dim\IR^4=4$. [/mm] Das Bild hat aber als Unterraum von [mm] $\IR^3$ [/mm] höchstens Dimension 3, also ist [mm] $\dim\ker f\ge [/mm] 1$, d.h. f ist nicht injektiv. Dieser Teil gilt ganz allgemein für jede lineare Abbildung von [mm] $\IR^3$ [/mm] nach [mm] $\IR^4$, [/mm] d.h. die Abbildungsmatrix war dafür unerheblich. $f$ kann aber sehr wohl surjektiv sein, entscheidend dafür ist der Rang der Abbildungsmatrix - ist dieser maximal, also in diesem Fall gleich 3, dann ist f surjektiv.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Do 17.12.2009 | | Autor: | schumann |
Auch wenn ich mir das ganze immernoch nciht so richtig vorstellen kann - dank deiner Schilderungen kann ich es jetz sicher im ein oder anderen Fall anwenden.
Danke!! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Do 17.12.2009 | | Autor: | schumann |
Hallo robert, jetz fällt mir noch was ein:
Du schreibst oben:
(...frei nach...)
dim ker(f) + dim im(f) = dimV für f: V->W
In meinem Skript steht für die sog Dimensionsformel:
f:V->W v->Av
DimV = Rg(A) + dim ker(A)
Bei Dir steht das "Im" in der Formel, wo bei mir vom rang die rede ist.
Stimmt beides? Kann ich beides allg. anwenden? Wo ist der Zusammenhang?
Danke! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Do 17.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Ist A Abbildungsmatrix der Abb. f, so gilt
Rang(A) = dim Im(f)
Im(f) ist der Bildraum von f
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 17.12.2009 | | Autor: | schumann |
DAnke FRED.
Ich verdaue das jetzt mal. Jetzt ergeben die Gleichungen wenigstens Sinn für mich. :)
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