Injektiv/Surjektiv Verkettung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Breece |
| Aufgabe | Seien f: A-->B und g: B-->C beliebige Abbildungen.
Beweisen sie:
Wenn gof injektiv ist, und wenn f surjektiv ist, dann ist g injektiv. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe Lösungsansätze aber irgendwo ist ein Denkfehler vorhanden.
Folgendes Beispiel habe ich mir ausgedacht
Sei A= {1,2,3,4}
Sei B= {1,2,3}
Sei C= {1,2,3}
f(1)=1
f(2)=1
f(3)=2
f(4)=3
g(1)=1
g(2)=2
g(3)=3
Somit wäre f surjektiv und g injektiv. g o f ist aber jetzt nicht injektiv... g o f(1) =1 und g o f (2) = 1
Hier hätte ein Element c e C zwei Elemente a1,a2 e A
Oder gehe ich das Problem schon falsch an? Mir sind die Definitionen von injektiv und surjektiv bewusst und bekannt, danach habe ich ja auch g und f "konstruiert" , aber irgendwie verstehe ich da wohl etwas falsch.
Habe ich gerade bewiesen, dass NICHT gilt:
Wenn f surjektiv und g injektiv ist, dann ist g o f injektiv
??
Diese Art von Aufgabe findet sich in sehr vielen verschiedenen Foren, aber so ganz schlau werde ich nicht immer daraus. Vlt kann mir da ja jemand weiterhelfen und es noch einmal aufschreiben. Auch wenn es dadurch das 1001 mal im Internet steht...
Mir ist klar, dass ich so etwas nicht mit einem Beispiel beweisen kann :) Das darf ich ja nur wenn es ein Gegenbeispiel ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Sax |
Hi,
Deine Logik stimmt nicht so ganz (wie du schon selbst ganz richtig ahnst).
Aus den beiden Aussagen A : gof ist injektiv und B : f ist surjektiv soll die Aussage C : g ist injektiv gefolgert werden, also (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] C
Diese Aussage ist nicht äquivalent zu [mm] \neg [/mm] ((B [mm] \wedge [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] A), die du durch ein Gegenbeispiel nachweist.
Ich zeige dir das an einem offensichtlichen Beispiel :
Die Aussage "Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 15 ist (A) und auch ein Vielfaches von 10 ist (B), dann muss diese Zahl ein Vielfaches von 25 sein (C)" ist sicherlich falsch wie das Beispiel der Zahl 60 zeigt.
Andererseits gibst du ein Beispiel an (etwa die Zahl 100), für die die Aussagen B und C zutreffen und die Aussage A nicht zutrifft. Das kann also kein Beweis sein.
Ein Beweis der Aussage geht direkt :
Nimm zwei verschidene Elemente [mm] b_1, b_2 [/mm] aus B. Was ist für die Injektivität von g zu zeigen ?
Benutze die vorausgesetzte Surjektivität von f : es folgt, dass es zwei ... Elemente [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] aus A gibt mit ...
Folgere dann, dass [mm] g(b_1) [/mm] = [mm] g(f(a_1)) [/mm] = [mm] (gof)(a_1) \not= [/mm] ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Do 08.11.2007 | | Autor: | Breece |
Also für $ [mm] b_1 \not= b_2 [/mm] $ aus B muss gelten, dass g($ [mm] b_1)\not=g($ b_2) [/mm] weil jedes c aus C max. ein b aus B haben darf.
Wenn f surjektiv ist, dann gilt für mindestens ein $ [mm] a_1,a_2 [/mm] $ aus A f($ [mm] a_1)=f($a_2) [/mm] und $ [mm] a_1 \not= a_2 [/mm] $
[mm] f($a_1)=$b_1. [/mm] Dann wäre [mm] g($b_1)=g [/mm] o f [mm] ($a_1)
[/mm]
[mm] f($a_2)=$b_1. [/mm] Dann wäre [mm] g($b_1)=g [/mm] o f [mm] ($a_2)
[/mm]
Aber dann hätte ein Element in c aus C zwei $ [mm] a_1,a_2 [/mm] $ aus A
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> Wenn f surjektiv ist, dann gilt für mindestens ein [mm]a_1,a_2[/mm]
> aus A f([mm] a_1)=f([/mm][mm] a_2)[/mm] und [mm]a_1 \not= a_2[/mm]
Hallo,
nein, das stimmt nicht.
"Surjektiv" sagt bloß, daß auf jedes Element der Zielmenge eines des Definitionsbereiches abgebildet wird.
(surjektiv ist auch nicht "das Gegenteil" von injektiv")
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Do 08.11.2007 | | Autor: | Breece |
Danke ! Da hab ich wohl was durcheinandergebracht...
Aber trotzdem KÖNNTE nach der Definition von Surjektiv doch ein b aus B zwei a aus A haben... Oder wird das dadurch sozusagen ausgeschlossen, dass g o f injektiv ist?
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> Aber trotzdem KÖNNTE nach der Definition von Surjektiv
> doch ein b aus B zwei a aus A haben...
Hallo,
ja. Dann wäre f eine Funktion, die surjektiv ist, aber nicht injektiv.
Das interessiert für die Aufgabenstellung nicht weiter.
Wenn Du allerdings Deinen Beweis führst so, daß Du einfach voraussetzt, daß f surjektiv ist, aber nicht injektiv, so beweist Du die Behauptung nicht in ihrem vollen Umfang.
> Oder wird das
> dadurch sozusagen ausgeschlossen, dass g o f injektiv ist?
Sozusagen... Ja, Du hast schon recht, es ist zwingend, daß dann auch f injektiv ist, aber wenn Du das benutzen möchtest, mußt Du es erst zeigen.
Du benötigst das aber nicht und solltest versuchen, "ohne" auszukommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Breece |
Also erstmal:
Vielen vielen Dank! Ich weiß das sehr zu schätzen, dass du dich mit meinen, wahrscheinlich trivialen, Aufgaben beschäftigst :)
Heute habe ich mit meiner Übungsgruppe über dieses Thema disktuiert. Wir hatten da eine Aufgabe wo man nur mit JA und NEIN ankreuzen sollte.
Wenn g o f injektiv ist, dann ist g injektiv.
Es wurde folgendes Beispiel verwendet um zu zeigen, dass g o f injektiv sein kann, ohne dass g injektiv ist.
A={1,2,3}
B={1,2,3,4}
C={1,2,3}
f(1)=1
f(2)=2
f(3)=3
g(1)=1
g(2)=2
g(3)=3
g(4)=3
Somit hätte jedes Element aus C maximal einen Partner in A. Wobei ich der Meinung bin, dass das so nicht korrekt sein kann. Das Element {3} aus C hat jetzt ja entweder ein Element aus A oder nicht. Gleichzeitig kann das aber nicht sein, oder? Daher ist g o f hier nicht injektiv und es ist auch kein Gegenbeispiel.
Stimmt meine Ausführung?
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> Ich weiß das sehr zu schätzen, dass du
> dich mit meinen, wahrscheinlich trivialen, Aufgaben
> beschäftigst :)
Ich freue mich, daß ich sie jetzt kann!
> Wir hatten da eine Aufgabe wo man nur mit JA
> und NEIN ankreuzen sollte.
>
> Wenn g o f injektiv ist, dann ist g injektiv.
>
> Es wurde folgendes Beispiel verwendet um zu zeigen, dass g
> o f injektiv sein kann, ohne dass g injektiv ist.
>
> A={1,2,3}
> B={1,2,3,4}
> C={1,2,3}
>
> f(1)=1
> f(2)=2
> f(3)=3
> g(1)=1
> g(2)=2
> g(3)=3
> g(4)=3
>
> Somit hätte jedes Element aus C maximal einen Partner in A.
> Wobei ich der Meinung bin, dass das so nicht korrekt sein
> kann. Das Element {3} aus C hat jetzt ja entweder ein
> Element aus A oder nicht.
Schreib Dir die Funktionswerte der Verkettung auf:
g o f(1)= g(f(1))=
g o f(2)= g(f(2))=
g o f(3)= g(f(3))=
Da siehst Du, daß alles richtig ist: g o f ist injektiv, und g ist offensichtlich nicht injektiv, denn es werden ja 3 und 4 auf die 3 abgebildet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Breece |
g o f(1)= g(f(1))=1
g o f(2)= g(f(2))=2
g o f(3)= g(f(3))=3
soweit klar... Das heißt, die Aussage, dass wenn g o f injektiv ist, dann ist g auch injektiv ist somit falsch?
Es ist also egal, dass wenn man "rückwärts" das ganze angeht, die 3 e C gleichzeitig ins nichts führt und zur 3 e A ?
Wieder was dazu gelernt :)
Dann kann ich mich ja mal an die anderen Aufgaben machen *g* Vielen Dank!
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> g o f(1)= g(f(1))=1
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> g o f(2)= g(f(2))=2
>
>
> g o f(3)= g(f(3))=3
>
> soweit klar... Das heißt, die Aussage, dass wenn g o f
> injektiv ist, dann ist g auch injektiv ist somit falsch?
Sie muß falsch sein, denn wir konnten sie widerlegen.
> Es ist also egal, dass wenn man "rückwärts" das ganze
> angeht, die 3 e C gleichzeitig ins nichts führt und zur 3 e
> A ?
Ja, das ist egal, das siehst Du ja.
Bei diesen Injektivtätsgeschichten helfen mir immer Bilder mit Pfeilen und Pünktchen.
Gruß v. Angela
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