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| Aufgabe | Gegeben seien die Abbildungen A : [mm] \IZ \to \IZ^2 [/mm] und B : [mm] \IZ^2 \to \IZ [/mm] mit
A(n) = (a − 3n, −n) und B(m, n) = 2n − m − 2a.
Das a [mm] \in \IZ [/mm] ist fest, untersuche, für welche a [mm] \in \IZ [/mm] die Abbildungen:
A [mm] \circ [/mm] B und B [mm] \circ [/mm] A injektiv oder surjektiv sind. |
In der Schule haben wir ja so was mit Kurvendiskussion mit Parametern gemacht, aber hier sind wir ja nur in den komplexen Zahlen.
Mein Ansatz war zunächst, die Kompositionen jeweils mal aufzuschreiben:
A [mm] \circ [/mm] B : [mm] \IZ^2 \to \IZ^2 [/mm]
und
B [mm] \circ [/mm] A : [mm] \IZ \to \IZ
[/mm]
Jetzt die Kompositionen bilden:
$(A [mm] \circ [/mm] B)(m,n) = [mm] \vektor{a -3(2n-m-2a) \\ -2n-m-2a} [/mm] = [mm] \vektor{7a -6n +3m \\ -2n-m-2a} [/mm] $
$$ (B [mm] \circ [/mm] A)(n) = -2n -(a-3n) -2a = n - 3a $$
Generell würde ich jetzt sagen, dass B [mm] \circ [/mm] A sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Das ist ja nichts anderes als eine Gerade...und das für alle a aus [mm] \IZ.
[/mm]
Aber mit A [mm] \circ [/mm] B hab ich so meine Schwierigkeiten. Injektivität haben wir so definiert: eine Abbildung f: A [mm] \to [/mm] B ist injektiv, wenn aus f(x) = f(y) stets folgt x = y.
Wie kann ich das hier prüfen? Eine Koordinate nach der anderen? also erst für m und dann für n?
Ich hoff ich hab das oben mit dem Formlen richtig hinbekommen...
vielen dank! traumfänger
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Do 18.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Gegeben seien die Abbildungen A : [mm]\IZ \to \IZ^2[/mm] und B :
> [mm]\IZ^2 \to \IZ[/mm] mit
> A(n) = (a − 3n, −n) und B(m, n) = 2n − m
> − 2a.
> Das a [mm]\in \IZ[/mm] ist fest, untersuche, für welche a [mm]\in \IZ[/mm]
> die Abbildungen:
> A [mm]\circ[/mm] B und B [mm]\circ[/mm] A injektiv oder surjektiv sind.
> In der Schule haben wir ja so was mit Kurvendiskussion mit
> Parametern gemacht, aber hier sind wir ja nur in den
> komplexen Zahlen.
Du meinst die GANZEN Zahlen ?!
>
> Mein Ansatz war zunächst, die Kompositionen jeweils mal
> aufzuschreiben:
>
> A [mm]\circ[/mm] B : [mm]\IZ^2 \to \IZ^2[/mm]
> und
> B [mm]\circ[/mm] A : [mm]\IZ \to \IZ[/mm]
>
> Jetzt die Kompositionen bilden:
>
> [mm](A \circ B)(m,n) = \vektor{a -3(2n-m-2a) \\ -2n-m-2a} = \vektor{7a -6n +3m \\ -2n-m-2a}[/mm]
>
> [mm](B \circ A)(n) = -2n -(a-3n) -2a = n - 3a[/mm]
>
> Generell würde ich jetzt sagen, dass B [mm]\circ[/mm] A sowohl
> injektiv als auch surjektiv ist....und das für alle a aus [mm]\IZ.[/mm]
korrekt.
>
> Aber mit A [mm]\circ[/mm] B hab ich so meine Schwierigkeiten.
> Injektivität haben wir so definiert: eine Abbildung f: A
> [mm]\to[/mm] B ist injektiv, wenn aus f(x) = f(y) stets folgt x =
> y.
>
> Wie kann ich das hier prüfen? Eine Koordinate nach der
> anderen? also erst für m und dann für n?
ganz einfach:
Weil B schon nicht injektiv ist (zB ist für jedes $a [mm] \in \IZ: [/mm] B(0,0) = B(1,2)$), kann A ° B erst recht nicht injektiv sein.
Für die Surjektivität betrachten wir einfach A: Das Bild von A besteht offenbar aus Punkten die auf einer Geraden liegen.
Damit ist A nicht surjektiv, erst recht nicht A ° B....und zwar für alle $a [mm] \in \IZ.$
[/mm]
OK?
Gruß
Will
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Hallo Will,
sorry aber mir ist nicht ganz klar, wie A: [mm] \IZ [/mm] -> [mm] \IZ^2 [/mm] eine Gerade abbilden soll, meintest du B?
Wegen der Surjektivität muss ich doch zeigen Bild A = [mm] \IZ, [/mm] aber wenn das Bild zwei Komponenten hat, dann kann es doch gar nicht surjektiv sein -- war es das, was du meintest?
Grüße und dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Sa 20.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du die Elemente von [mm] \IZ^2 [/mm] in der x-y-Ebene ansiehst wird doch n auf die Gerade x=a+3y abgebildet, natürlich nur auf die Werte mit ganzen Zahlen. Das ist aber nur ne Teilmenge von [mm] \IZ^2.
[/mm]
Es gibt Abbildungen von [mm] \IZ [/mm] auf [mm] \IZ^2 [/mm] die jedes Element von [mm] \IZ^2 [/mm] erreichen, die sind nur nicht so leicht aufzuschreiben.
deshalb muss man sagen, dass A nicht surjektiv ist.
du müsstest zeigen Bild [mm] A(Z)=\IZ^2 [/mm] denn A bildet ja nach [mm] \IZ^2 [/mm] ab nicht nach [mm] \IZ
[/mm]
Gruss leduart
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Hallo.
Ich glaub ich seh so langsam was du meinst. Ich habe also:
$$ Bild A = {(x,y) [mm] \in \IZ^2: [/mm] x = a-3n [mm] \wedge [/mm] y = -n} $$
$$ [mm] \gdw [/mm] {(x,y) [mm] \in \IZ^2: [/mm] x = a-3n [mm] \wedge [/mm] n = -y} $$
$$ [mm] \gdw [/mm] {(x,y) [mm] \in \IZ^2: [/mm] x = a+3y [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in \IZ [/mm] } $$
D.h. das Bild A ist eine Gerade, da hat z.B. der Punkt (2,2) [mm] \in \IZ^2 [/mm] für a = 0 kein Urbild in [mm] \IZ, [/mm] bzw. es gibt kein n sodass A(n) = (a-3n,-n) = (2,2) für a = 0.
Was ich noch nicht verstehe ist das allgemeine Argument. Ich muss also für jedes a [mm] \in \IZ [/mm] ein solchen Punkt ohne Urbild finden.
Grüße und dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 So 21.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst mich missverstanden haben. Damit, dass du auch nur einen einzigen Punkt etwa (2,2) aus [mm] \IZ^2 [/mm] gefunden hast ist schon bewiesen, dass es keine surjektive Abbildung ist.
ich hatte -anscheinend irreführend- dazu geschrieben: WENN du die surjektivität beweisen wollen würdest, dann und nur dann müsstest du zeigen, dass jeder Punkt von [mm] \IZ^2 [/mm] ein Bild von A ist.
Willst du ja nicht, da du schon gezeigt hast, dass es nicht surjektiv ist.
Gruss leduart
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