Injektiv, surjektiv, bijektiv < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 So 07.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | | Es seien M,N endliche Mengen mit |M| = |N|. Zeigen Sie, dass für eine Abbildung f:M [mm] \to [/mm] N die Eigenschaften injektiv, surjektiv und bijektiv äquivalent sind. |
Man muss hier doch nur die Bijektivität zeigen oder? Wie kann man das denn machen? Ist ja hier sehr allgemein gehalten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 So 07.11.2010 | | Autor: | vwxyz |
Also überlege dir nochmal was injektiv und surjektiv heißt. Und was bijektiv genau bedeutet. Und dann weißt du ja ncoh das die Mengen M und N gleichmächtig sind.
Weiterhin sollst du als Beweis zeigen das alle Aussagen zueinander äuqivalent sind, d.h. es reicht zu zeigen das aus 1) => 2) folgt aus 2)=>3) und aus 3) =>1) wieder folgt. wobei das aus 3) sowohl 1) als 2) folgt ja schon trivial ist da bijektivität ja schon bedeutet das es injektiv und surjektiv ist. Also überlegt einfach mal was folgt wenn |M|=|N| und f: M [mm] \to [/mm] N injektiv ist und was folgt wenn |M|=|N| und f: M [mm] \to [/mm] N surjektiv ist. Dann müsstest du es eigentlich schon erkennen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 So 07.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Surjektiv bedeutet doch, dass jedem Element aus der Zielmenge (z) mindestens ein Element in der Defintionsmenge (D) zugeodrnet wird. Injektiv bedeutet, dass höchstens ein Element zugeordnet wird.
Wenn M und N gleichmächtig sind und die Abbildung surjektiv, wird jedem Element aus Z genau ein Element aus D zugeordnet. ist doch trivial, aber wie beweist man das? Oder reicht diese Erklärung aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 So 07.11.2010 | | Autor: | vwxyz |
Ja im Grunde ist das schon trivial aber man muss es schon formgerecht hinschreiben.
Also von 1)=>2) Sei |M|=|N| und f: M [mm] \to [/mm] N injektiv so gilt [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] M : f(x)=f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x=y Da |M|=|N| gilt also auch f(M)=N ist da ich ja zu jedem x [mm] \in [/mm] M genau ein y [mm] \in [/mm] N finde, und für aus 2)=>3) sagst du einfach: Sei |M|=|N| und f: M [mm] \to [/mm] N surjektiv so gilt f(M)=N [mm] \Rightarrow \forall [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] N [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M. Da |M|=|N| gilt also [mm] \forall [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] N [mm] \exists! [/mm] x [mm] \in [/mm] M. (das ist ja die Definition für Bijektivität. Und 3) =>1) ist ja trivial.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 So 07.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Super. Danke sehr. Ich versteh sogar alles, was da steht ;) Aber da muss man erstmal drauf kommen. xD aber gut, ich habs verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 So 07.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
siehe auch hier
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