Injektiv und Surjektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Ferolei |
Hallo zusammen,
wenn man die komposition zweier funtkionen betrachte, wobei der Wertebereich der ersten mit dem Definitionsbereich der zweiten übereinstimmen, kann man dann Aussagen darüber machen, ob diese (Komposition) injektiv oder surjektiv sein kann, obwohl die beiden Funktionen es selbst nciht sind?
Also wenn man f und g gegeben hat, aber g [mm] \circ [/mm] f nicht extra bestimmt.
Mir sind Sätze Bemerkungen aus der VOrlesung bekannt wie: Es gibt Funktionen f,g mit g [mm] \circ [/mm] f bijektiv aber keine der Funktionen f und g sind bijektiv.
(Reicht hierbei das Kriterium, dass f injektiv und g surjektiv ist?)
Außerdem hatten wir Aussagen: Wenn f und g injektiv, dann auch g [mm] \circ [/mm] f und so... kann man dann rückschlüsse ziehen, falls f und g nicht injektiv sind?
LG, Ferolei
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> Hallo zusammen,
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> wenn man die komposition zweier funtkionen betrachte, wobei
> der Wertebereich der ersten mit dem Definitionsbereich der
> zweiten übereinstimmen, kann man dann Aussagen darüber
> machen, ob diese (Komposition) injektiv oder surjektiv sein
> kann, obwohl die beiden Funktionen es selbst nciht sind?
> Also wenn man f und g gegeben hat, aber g [mm]\circ[/mm] f nicht
> extra bestimmt.
>
> Mir sind Sätze Bemerkungen aus der VOrlesung bekannt wie:
> Es gibt Funktionen f,g mit g [mm]\circ[/mm] f bijektiv aber keine
> der Funktionen f und g sind bijektiv.
> (Reicht hierbei das Kriterium, dass f injektiv und g
> surjektiv ist?)
>
> Außerdem hatten wir Aussagen: Wenn f und g injektiv, dann
> auch g [mm]\circ[/mm] f und so... kann man dann rückschlüsse
> ziehen, falls f und g nicht injektiv sind?
>
> LG, Ferolei
Bist du dir sicher, dass du da bei den Begriffen
"Definitionsbereich" und "Wertebereich" nichts
verwechselt hast ?
Zum Beispiel ist, wenn man eine Funktion
[mm] f:A\to{B} [/mm] definiert, die Menge B nicht unbedingt
gleich dem Wertebereich von f !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Hallo zusammen,
> >
> > wenn man die komposition zweier funtkionen betrachte, wobei
> > der Wertebereich der ersten mit dem Definitionsbereich der
> > zweiten übereinstimmen, kann man dann Aussagen darüber
> > machen, ob diese (Komposition) injektiv oder surjektiv sein
> > kann, obwohl die beiden Funktionen es selbst nciht sind?
> > Also wenn man f und g gegeben hat, aber g [mm]\circ[/mm] f nicht
> > extra bestimmt.
> >
> > Mir sind Sätze Bemerkungen aus der VOrlesung bekannt wie:
> > Es gibt Funktionen f,g mit g [mm]\circ[/mm] f bijektiv aber keine
> > der Funktionen f und g sind bijektiv.
> > (Reicht hierbei das Kriterium, dass f injektiv und g
> > surjektiv ist?)
> >
> > Außerdem hatten wir Aussagen: Wenn f und g injektiv, dann
> > auch g [mm]\circ[/mm] f und so... kann man dann rückschlüsse
> > ziehen, falls f und g nicht injektiv sind?
> >
> > LG, Ferolei
>
>
> Bist du dir sicher, dass du da bei den Begriffen
> "Definitionsbereich" und "Wertebereich" nichts
> verwechselt hast ?
>
> Zum Beispiel ist, wenn man eine Funktion
> [mm]f:A\to{B}[/mm] definiert, die Menge B nicht unbedingt
> gleich dem Wertebereich von f !
das verstehe ich nicht: In Deinem Beispiel gibt's ja eh nur eine Funktion. Er meint etwa, dass $f [mm] \circ [/mm] g$ etwa Sinn macht für
$$g: A [mm] \to B,\,\;\;f:B \to C\,.$$
[/mm]
Der Wertebereich von der ersten Funktion [mm] $g\,$ [/mm] (ich nenne das lieber Zielbereich) ist der Definitionsbereich der zweiten Funktion [mm] $f\,.$
[/mm]
Edit: Jetzt war ich durcheinander und kapiere erst, was Du meinst. Leider ist's in der Tat doch so, dass man manchmal auch bei $f: A [mm] \to [/mm] B$ die Menge [mm] $B\,$ [/mm] Wertebereich (minimal besser finde ich dann den Vorschlag Wertevorrat, auf Wiki) nennt (ich bevorzuge Zielbereich). Die Menge [mm] $f(A)\,$ [/mm] nennt man dann das Bild von [mm] $f\,.$ [/mm] Und Du nennst diese Menge [mm] $f(A)\,$ [/mm] halt auch Wertebereich - was ich übrigens auch so kenne.
(Hier ist's übrigens leider echt so, dass man da von Literatur zu Literatur aufpassen sollte und immer genau lesen sollte, wo der Autor die Begriffe definiert hat. Weitgehend scheint's mir so, dass [mm] $f(A)\,$ [/mm] Wertebereich genannt wird, glaube mich aber auch zu erinnern, dass es durchaus viele bekannte und geschätzte Mathebücher gibt, die die Begriffe doch in einer anderen Definition verwenden.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Ferolei |
Ja, ich meine natürlich f: A-->B und g: B-->C und dann g [mm] \circ [/mm] f: A-->C
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> Hallo zusammen,
>
> wenn man die komposition zweier funktionen betrachte, wobei
> der Wertebereich der ersten mit dem Definitionsbereich der
> zweiten übereinstimmen, kann man dann Aussagen darüber
> machen, ob diese (Komposition) injektiv oder surjektiv sein
> kann, obwohl die beiden Funktionen es selbst nciht sind?
> Also wenn man f und g gegeben hat, aber g [mm]\circ[/mm] f nicht
> extra bestimmt.
>
> Mir sind Sätze Bemerkungen aus der Vorlesung bekannt wie:
> Es gibt Funktionen f,g mit g [mm]\circ[/mm] f bijektiv aber keine
> der Funktionen f und g sind bijektiv.
Nimm für ein einfaches Beispiel dieser Sorte etwa:
[mm] A=C=\{1,2,3\} [/mm] und [mm] B=\{2,4,6,7\}
[/mm]
mit [mm] f(x)=2\,x [/mm] und [mm] g(x)=\lfloor{x/2}\rfloor
[/mm]
Dann ist f nicht surjektiv, g nicht injektiv, aber [mm] g\circ{f} [/mm] bijektiv.
Nach der mir geläufigen Begrifflichkeit ist dann allerdings
der Wertebereich von f nicht identisch mit dem Definitions-
bereich B der Funktion g, sondern eine echte Teilmenge davon.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 So 08.01.2012 | | Autor: | Ferolei |
Hey,
in dem Beispiel ist mir das klar... aber auf was wird 7 in g abgebildet???
Also mir stellt sich eher die Frage, ob ich zwei nicht injektive Funktionen haben kann, mit: f : A--> B und g: B --> C , sodass g [mm] \circ [/mm] f : A --> C aber injektiv ist. Ich meine nein, aber bin mir halt unsicher.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 So 08.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey,
>
> in dem Beispiel ist mir das klar... aber auf was wird 7 in
> g abgebildet???
>
> Also mir stellt sich eher die Frage, ob ich zwei nicht
> injektive Funktionen haben kann, mit: f : A--> B und g: B
> --> C , sodass g [mm]\circ[/mm] f : A --> C aber injektiv ist. Ich
> meine nein, aber bin mir halt unsicher.
natürlich nicht. Betrachten wir es mal:
Was kann man etwa sagen, wenn $g [mm] \circ [/mm] f$ injektiv ist?
Also:
Es sei $g [mm] \circ [/mm] f$ injektiv. Dann muss auch [mm] $f\,$ [/mm] injektiv sein: Seien nämlich $x,y [mm] \in [/mm] A$ mit [mm] $f(x)=f(y)\,.$ [/mm] Dann folgt doch schon [mm] $g(f(x))=g(f(y))\,,$ [/mm] was
$$(g [mm] \circ [/mm] f)(x)=(g [mm] \circ [/mm] f)(y)$$
bedeutet. Die Injektivität von $g [mm] \circ [/mm] f$ liefert sodann [mm] $x=y\,.$ [/mm] Also ist [mm] $f\,$ [/mm] injektiv!
Ähnlich kannst Du Dir was überlegen, wenn $g [mm] \circ [/mm] f$ surjektiv ist. Das sind aber Standardaufgaben, die man in Analysis I beweist. Such' mal in einem entsprechenden Buch oder Skript (oder bei den Übungsaufgaben zu einer Vorlesung)!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 So 08.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
zur Übung: Seien $f: A [mm] \to [/mm] B$ und $g: B [mm] \to C\,.$ [/mm] Zeige:
Ist $g [mm] \circ [/mm] f: A [mm] \to [/mm] C$ surjektiv, so muss auch [mm] $g\,$ [/mm] surjektiv sein. Eine mögliche Lösung dazu findest Du unten in $^{[1]}$
(Diese dient nur zur Kontrolle - selbstverständlich kannst Du gerne DEINE Lösung hier posten, insbesondere, wenn Du irgendwo nicht weiterkommst!)
___________________________________________________________
$^{[1]}$
Sei $c [mm] \in C\,.$ [/mm] Wir wählen ein $a [mm] \in [/mm] A$ mit $(g [mm] \circ f)(a)=c\,,$ [/mm] solch eines existiert, weil $g [mm] \circ [/mm] f$ surjektiv ist. Es folgt damit, dass gilt
[mm] $$g(f(a))=c\,.$$ [/mm]
Setzt man nun also [mm] $b:=f(a)\,,$ [/mm] so ist wegen $f(A) [mm] \subseteq [/mm] B$ und $a [mm] \in [/mm] A$ sicher $f(a) [mm] \in B\,,$ [/mm] also $b [mm] \in B\,.$ [/mm] Und für dieses $b [mm] \in [/mm] B$ folgt
[mm] $$g(b)=g(f(a))=c\,.$$
[/mm]
Da $c [mm] \in [/mm] C$ beliebig war, muss [mm] $g\,$ [/mm] surjektiv sein.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Ferolei |
Danke Marcel,
diese Sätze haben wir ja auch bewiesen, aber ich habe mich nur gefragt, ob ich gleichzeitig auch aus diesen Sätzen folgern kann, dass die Komposition nicht injektiv sein kann, wenn f schon nicht injektiv ist.
Das ist mir einfach nicht klar.
Also ich automatisch sagen kann, dass wenn beide Funktionen weder injektiv noch surjektiv sind, dass die Komposition es auch nicht sein kann. Weiß nicht, ob man das aus obigen Sätzen direkt ableiten kann.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Ferolei |
Kann ich mir meine Frage viell. selbst beantworten, wenn ich mit Aussagenlogik argumentiere?
Hier steckt ja eigentlich die Kontraposition dahinter: p --> q [mm] \equiv \neg [/mm] q --> [mm] \neg [/mm] p.
Demnach müsste dann ja gelten, wenn f nicht injektiv ist, kann die Verkettung g [mm] \circ [/mm] f nicht injektiv sein.
Ich verstehe dann p als meine Aussage g [mm] \circ [/mm] f ist injektiv und q als f ist injektiv und das ist eine wahre Aussage. Also ist dann [mm] \neg [/mm] q ,dass f nicht injektiv ist und somit ist die Verkettung auch nicht injektiv, oder?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kann ich mir meine Frage viell. selbst beantworten, wenn
> ich mit Aussagenlogik argumentiere?
> Hier steckt ja eigentlich die Kontraposition dahinter: p
> --> q [mm]\equiv \neg[/mm] q --> [mm]\neg[/mm] p.
>
> Demnach müsste dann ja gelten, wenn f nicht injektiv ist,
> kann die Verkettung g [mm]\circ[/mm] f nicht injektiv sein.
> Ich verstehe dann p als meine Aussage g [mm]\circ[/mm] f ist
> injektiv und q als f ist injektiv
> und das ist eine wahre
> Aussage.
Was ist eine wahre Aussage? Die Folgerung (in Deiner Notation, ich glaube, in der Logik ist das sauber)
$$p [mm] \longrightarrow [/mm] q$$
ist eine wahre Aussage!!
> Also ist dann [mm]\neg[/mm] q ,dass f nicht injektiv ist
> und somit ist die Verkettung auch nicht injektiv, oder?
Genau.
Übe Dich übrigens in der Kontraposition. Wenn Du zu einem Prof. oder Mitarbeiter gehst, und den fragst:
"Kann [mm] $f\,$ [/mm] nicht injektiv sein und trotzdem $g [mm] \circ [/mm] f$ injektiv?"
so wirst Du aller Wahrscheinlichkeit nach die Antwort erhalten:
"Nein, denn aus der Injektivität von $g [mm] \circ [/mm] f$ folgt die von [mm] $f\,.$"
[/mm]
Wenn Du dann verwirrt bist, dann liegst's daran, dass Du nicht an die Kontraposition gedacht hast. Wenn Du meine obige Überlegung dann aber heranziehst, so erhältst/benutzt Du genau diese:
"Hm, okay, ich nehme an, dass [mm] $f\,$ [/mm] nicht injektiv sei, aber $g [mm] \circ [/mm] f$ injektiv. Der Prof./Mitarbeiter gibt mir die Info, dass aus der Injektivität von [mm] $g\circ [/mm] f$ die Injektivität von [mm] $f\,$ [/mm] folgt. Ah, das steht im Widerspruch zu meiner Voraussetzung, dass [mm] $f\,$ [/mm] nicht injektiv ist. Okay, die Frage ist beantwortet."
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Ferolei |
*hehe :)
Genau das meinte ich damit .... danke !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke Marcel,
>
> diese Sätze haben wir ja auch bewiesen, aber ich habe mich
> nur gefragt, ob ich gleichzeitig auch aus diesen Sätzen
> folgern kann, dass die Komposition nicht injektiv sein
> kann, wenn f schon nicht injektiv ist.
ja. Ich glaube, Du hast das schon selbst erkannt: Hier kommt die Kontraposition ins Spiel:
Es gilt
$$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$$
ist gleichwertig zu
[mm] $$(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg A)\,.$$
[/mm]
Oben hast Du gesehen: Wenn $g [mm] \circ [/mm] f$ injektiv ist, so folgt die Injektivität von [mm] $f\,.$
[/mm]
Kontraposition:
Wenn [mm] $f\,$ [/mm] nicht injektiv ist, so folgt die Nichtinjektivität von $g [mm] \circf\,.$
[/mm]
Beachte:
Die Kontrapositionsaussage erhält man, indem man den Folgepfeil umkehrt und die Aussagen negiert.
Übrigens ist das, wie ich finde, auch schnell logisch argumentiert:
Es gelte, dass aus [mm] $A\,$ [/mm] nun [mm] $B\,$ [/mm] folgt. Wir wollen erkennen, dass aus [mm] $\neg [/mm] B$ auch [mm] $\neg [/mm] A$ folgt.
Gelte also [mm] $\neg [/mm] B$ und $A [mm] \Rightarrow B\,.$ [/mm] Angenommen, nun gelte [mm] $A\,.$ [/mm] Wegen $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ gilt dann [mm] $B\,,$ [/mm] im Widerspruch zur Voraussetzung, dass [mm] $\neg [/mm] B$ gilt. Also gilt
[mm] $$(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg A)\,.$$
[/mm]
Natürlich gibt's auch andere Beweise.
> Das ist mir einfach nicht klar.
> Also ich automatisch sagen kann, dass wenn beide
> Funktionen weder injektiv noch surjektiv sind, dass die
> Komposition es auch nicht sein kann. Weiß nicht, ob man
> das aus obigen Sätzen direkt ableiten kann.
Ja, siehe oben!
Gruß,
Marcel
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