Injektive Surjektive Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie für eine beliebige Menge A, dass eine injektive, aber keine surjektive Abbildung f: A->P(A) existiert. Geben Sie eine überabzählbare Menge an.
(Hinweis: Betrachten Sie B:={a [mm] \in [/mm] A | a [mm] \not\in [/mm] f(a)} [mm] \subseteq [/mm] A |
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Ich habe mir jetzt gedacht, wenn ich zeige |P(A)| > |A|, dann ist die Abbildung injektiv und nicht surjektiv, oder nicht?
Wenn ja, wie beweist man dass |P(A)| > |A|??
Den Hinweis verstehe ich gar nicht, weiß nicht was ich damit anfangen soll.
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> Zeigen Sie für eine beliebige Menge A, dass eine injektive,
> aber keine surjektive Abbildung f: A->P(A) existiert. Geben
> Sie eine überabzählbare Menge an.
> (Hinweis: Betrachten Sie B:={a [mm] \in [/mm] A | a [mm] \not\in [/mm] f(a)} [mm] \subseteq [/mm] A
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> Ich habe mir jetzt gedacht, wenn ich zeige |P(A)| > |A|,
> dann ist die Abbildung injektiv und nicht surjektiv, oder
> nicht?
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> Wenn ja, wie beweist man dass |P(A)| > |A|??
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> Den Hinweis verstehe ich gar nicht, weiß nicht was ich
> damit anfangen soll.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Dein Gedanke mit der Mächtigkeit der Mengen ist sehr naheliegend, für endliche Mengen funktioniert das auch.
Nur ist Deine Aufgabe für beliebige Mengen A gstellt, und das schließt Mengen, deren Mächtigkeit [mm] \infty [/mm] ist mit ein, und hier bekommen wir ein Problem mit |P(A)| > |A|.
> Wenn ja, wie beweist man dass |P(A)| > |A|??
Für endliche Mengen geht das per Induktion über die Anzahl der Elemente von A, aber wie gesagt, wir werden bei dieser Aufgabenstellung nicht froh damit.
Den Beweis kannst Du per Widerspruch führen.
Nimm an, Du hättest eine surjektive Funktion
f: A [mm] \to [/mm] P(A).
Laß uns erstmal überlegen, was die tut.
Sie ordnet Elementen von A Elemente aus P(A) zu, also Teilmengen von A.
Das mag für den Anfang sehr ungewohnt sein.
Nun schauen wir uns den Tip an:
> Betrachten Sie [mm] B:={a\in A | a \not\in f(a)} \subseteq [/mm] A
Was ist B für eine Menge? Was bedeutet das?
Zunächst einmal stellen wir fest, daß B wegen "a [mm]\in[/mm] A " eine Telmenge von A ist.
Damit wissen wir gleich: [mm] B\in [/mm] P(A)
Diese Menge B enthält alle Elemente aus a, für die in der Menge (!) f(a) das Element a nicht enthalten ist. Die also auf solch eine Teilmenge von a abgebildet werden, die a nicht enthält.
Da B [mm] \in [/mm] P(A) und da wir die Abbildung f als surjektiv angenommen hatten,
gibt es ein x [mm] \in [/mm] A mit f(x)=B.
Es gibt zwei Möglichkeiten:
1. es ist [mm] x\in [/mm] B
2. es ist [mm] x\not\in [/mm] B.
Beides kannst Du zum Widerspruch führen, womit Du dann die Annahme, daß es eine solche Surjektion gibt, widerlegt hast.
Eine injektive Abbildung anzugeben, sollte keine Schwierigkeit sein, in P(A) sind ja auch "kleine " Teilmengen von A.
Gruß v. Angela
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