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| Aufgabe | Sei R Ring, K Körper, [mm] \gamma: [/mm] K [mm] \to [/mm] R Ringhomomorphismus.
Zeigen Sie, das [mm] \gamma [/mm] injektiv ist |
Ich krieg langsam ein schlechtes Gewissen wegen meinen vielen Fragen hier..
Wenn ihr keine Lust mehr habt bitte laut rufen ;)
Zur Aufgabe:
Habe hier ebenfalls den Lösungsweg zur Aufgabe aber so richtig blicke ich da nicht durch.. Ich schreibe ihn mal zunächst auf:
a [mm] \in [/mm] K, a [mm] \not= [/mm] 0
(K2) [mm] \Rightarrow \exists a^{-1} \in [/mm] K mit [mm] a\*a^{-1} [/mm] = 1
Es gilt 1 = [mm] \gamma(1) [/mm] = [mm] \gamma (a\*a^{-1}) [/mm] = [mm] \gamma(a) \* \gamma(a^{-1})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \gamma(a^{-1}) [/mm] = [mm] \gamma(a^{-1}), [/mm] also also [mm] \gamma(a) \not=0
[/mm]
[mm] Ker(\gamma) [/mm] = 0
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Ich habe mir zunächst den Unterschied zwischen Ring und Körper angeschaut... Beim Ring wird ja kein Inverses bezüglich der Multiplikation bzw. der zweiten Verknüpfung gefordert... Beim Körper hingegen schon.
Jetzt war mein erster Gedanke, bei der Abbildung von K nach R gehen ja "Informationen" verloren.
Dann haben wir mal an der Tafel so ein Schaubild gehabt... Es wurde deutlich, dass bei inj. Homorphismen das Urbild kleiner ist als das Bild...
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Was mir Probleme bereitet:
Das (K2).
Dieses besagt laut Definition: K OHNE 0 ist Gruppe (Kommutativ)
Ich verstehe aber die Idee dahinter nicht warum er das so macht..
Dann:
die vorletzte Zeile.. Hier verstehe ich die Idee auch nicht hinter.
Sowie die Schlussfolgerung das der [mm] Kern(\gamma) [/mm] = 0 ist.
Wozu brauche ich das für den Beweis?
Liebe Grüße
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Fr 21.03.2008 | | Autor: | algieba |
Hi Steffi
Bei einem Ringhomomorphismus ist per Definition
[mm] f(e_K)=e_R [/mm].
also [mm] 1=\gamma (1) [/mm] und nach (K2) dann [mm] = \gamma (a * a^{-1}) [/mm]
daraus folgt dann schon [mm] \gamma (a) \not= 0 [/mm] da ja sonst diese Gleichung nicht 1 ergeben kann.
Da wir am Anfang gesagt haben [mm] a \not= 0 [/mm] und wegen [mm] f(e_K)=e_R [/mm] folgt daraus, dass [mm] ker(\gamma) = 0 [/mm].
Und es gilt:
[mm] ker(\gamma) = {e_K} \gdw \gamma [/mm] ist injektiv
(wenn du den Beweis dazu haben willst kann ich dir den gerne auch noch posten)
qed
Ich hoffe ich konnte dir helfen, und ich hoffe dass meine Antwort richtig ist, ich find sie aber ganz einleuchtend.
Viele Grüße
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Willkommen im Matheraum 
ich blicke da immer noch nicht ganz durch :(
Ich verstehe nicht ganz wie wir zu der 1 kommen.
Okey, [mm] a\*a^{-1} [/mm] = 1 ... Aber ich verstehe nicht wie man das K2 bewiesen hat.
Und das da
[mm] \gamma(a^{-1}) [/mm] = [mm] \gamma(a^{-1}) [/mm] steht verstehe ich auch nicht :(
Liebe grüße und vielen Dank für Deine Mühe
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Jorgi |
Hallo,
das Ziel ist es zu zeigen, dass der Kern von dem Ringhomomorphismus [mm] $\gamma$ [/mm] nur aus der Null besteht, also
[mm] $Kern(\gamma) [/mm] = [mm] \{0\}$.
[/mm]
Denn jeder Homomorphismus, dessen Kern nur aus der Null besteht ist injektiv.
1. Schritt: liegt die Null überhaupt im Kern von [mm] $\gamma$ [/mm] ?
Jo das tut sie, denn die Null liegt im Kern eines jeden Himomorphismus.
2: Schritt: Liegt jedes Element $a [mm] \not= [/mm] 0$ ausserhalb des Kerns ?
Ja, denn jeder Ringomomorphismus bildet definitionsgemäß die [mm] $1_K$ [/mm] auf die [mm] $1_R$ [/mm] ab, woraus sich dann folgendes ergibt,
[mm] $1_R [/mm] = [mm] \gamma(1_K) [/mm] = [mm] \gamma(a\cdot a^{-1}) [/mm] = [mm] \gamma(a)\cdot \gamma(a^{-1}) [/mm] $
Aus obiger Gleichung lässt sich insbesondere schliessen, dass [mm] $\gamma(a) \not= [/mm] 0$ (denn sonst wäre [mm] $\gamma(a)\cdot \gamma(a^{-1}) [/mm] = 0 [mm] \cdot \gamma(a^{-1}) [/mm] = 0 [mm] \not= [/mm] 1$)
und folglich liegt $a$ nicht im Kern
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:45 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Steffi1988 |
Vielen Dank,
verstehe es nun :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:11 Sa 22.03.2008 | | Autor: | algieba |
Danke Jorgi, so meinte ich es, konnte es aber nicht so gut erklären wie du.
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