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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:40 Di 12.05.2009 | | Autor: | Primel |
| Aufgabe | a) Sei G ein konvexes Gebiet, d.h. zu a,b [mm] \in [/mm] G liegt auch die Strecke (a,b) (eigentlich eckige Klammern) in G. Sei f: [mm] G\to\IC [/mm] holomorph (und f´stetig).
Zeige: Ist |f´(z)-1|<1 für alle [mm] z\inG, [/mm] dann ist f injektiv.
b) Sei f: [mm] D\to\IC, f(z)=\bruch{z}{(1-z)^2}
[/mm]
Zeige: [mm] f(z)=\summe_{n=1}^{\infty}nz^n [/mm] für z [mm] \inD. [/mm] Zeige, dass f injektiv ist und bestimme f(D) |
Hallo!
wie muss ich bei folgenden Aufgaben vorgehen? wer kann mir helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Di 12.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> a) Sei G ein konvexes Gebiet, d.h. zu a,b [mm]\in[/mm] G liegt auch
> die Strecke (a,b) (eigentlich eckige Klammern) in G. Sei f:
> [mm]G\to\IC[/mm] holomorph (und f´stetig).
> Zeige: Ist |f´(z)-1|<1 für alle [mm]z\inG,[/mm] dann ist f
> injektiv.
Angenommen nicht, dann würde es a und b geben mit [m]f(a)=f(b)[/m]. Also integriere [m]f'[/m] entalng der Strecke von a nach b, da f eine Stammfunktion ist, müsste dies 0 sein, aber die Abschätzung für [m]f'[/m] gibt hoffentlich einen Widerspruch.
> b) Sei f: [mm]D\to\IC, f(z)=\bruch{z}{(1-z)^2}[/mm]
> Zeige:
> [mm]f(z)=\summe_{n=1}^{\infty}nz^n[/mm] für z [mm]\inD.[/mm] Zeige, dass f
> injektiv ist und bestimme f(D)
D ist hier der Einheitsball, oder? Berechne doch mal [m]f'[/m] - vielleicht kann man dann ja a) anwenden, weiterhin könnte man vielleicht mit Induktion [m]f^{(n)}[/m] berechnen und somit alle Ableitungen in 0 finden. Oder aber etwas mit geometrischer Reihe und Cauchy-Produkt? Für das Bild: nach dem Maximalprinzip würde ich das Verhalten auf dem Rand untersuchen und schauen, wo der hingeht.
SEcki
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:44 Fr 15.05.2009 | | Autor: | side |
| Aufgabe | a) ok, die anleitung hab ich mal versucht nachzuvollziehen. Das Integral muss 0 sein, da cih ja entlang von f(a) nach f(b) integriere. Diese sind gleich, also ist das Integral 0 (da es ja auch existiert, da f eine Stammfunktion von f' ist. Aber wo liegt der widerspruch? wieso widerspricht die tatsache, dass das integral 0 ist der abschätzung |f'(z)-1|<1?
b)ok, soweit komm ich damit schon mal ganz gut klar, und die sache mit dem cauchy-produkt, um die Potenzreihe zu zeigen ist klar.
Aber jetzt muss ich ja zeigen, dass |f'(z)-1|<1 für alle z, um dann mit hilfe der a) die injektivität zu folgern. Aber an der Stelle steh ich aufm Schlauch bzw dreh mich nur im kreis. Ich kann ja die Beträge nicht auflösen (wie im [mm] \IR), [/mm] da ja dann in [mm] \IC [/mm] keine Ordnungsrelation mehr besteht. gibts da nen tipp? |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 19.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Do 14.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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