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Hallo
Meine Aufgabe:
Seien f : X -> Y, g: Y --> Z Abbildungen und g [mm] \circ [/mm] f: X --> Z die Komposition von f und g. Dann gilt:
a) Sind f und g injektiv (surjektiv), so ist auch g [mm] \circ [/mm] f injektiv (surjektiv).
b) Ist g [mm] \circ [/mm] f injektiv (surjektiv), so ist auch f und g injektiv (surjektiv).
Zu zeigen für injektiv ist ja, dass g [mm] \circ [/mm] f(x) = g [mm] \circ [/mm] f(y) --> x=y
Wie kann ich das nun beweisen?
Und wie geht das ganze für surjektiv?
Liebe Grüsse
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Hiho,
ein kleiner Hinweis, wir schreiben $(g [mm] \circ [/mm] f)(x)$ mal anders, dann siehst du es bestimmt:
Es gilt:
$g(f(x)) = g(f(y)) [mm] \Longrightarrow \cdots$ [/mm] da g ....
Naja, den Rest kriegst du nun bestimmt alleine hin, bis da nur noch x=y steht 
Analog läuft das mit surjektiv, überlege dir, wie genau die Definition von Surjektivität aussieht, dann schreibs hin und überlege dir, warum [mm] $(g\circ [/mm] f)(x) = g(f(x))$ surjektiv ist. Das ist nachher nur stures Anwenden der Definition.
zu b) Nimm an, [mm] $(g\circ [/mm] f)$ sei injektiv bzw surjektiv, die Einzelfunktionen aber nicht. Führe das zum Widerspruch.
MFG,
Gono.
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Hallo
g(f(x))=g(f(y)) --> g(x) = g(y) --> x=y
Ist das für a richtig?
Gruss
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Hallo Babybel73,
> Hallo
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> g(f(x))=g(f(y)) --> g(x) = g(y) --> x=y
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> Ist das für a richtig?
Nein, wieso sollte die erste Implikation gelten?
$x,y$ sind doch aus der Menge $X$, auf der g gar nicht definiert ist ...
Was sollen also $g(x), g(y)$ sein??
Benutze für die erste Folgerung lieber, dass g injektiv ist, also folgt aus $g(f(x))=g(f(y))$ was?
> Gruss
LG
schachuzipus
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Sorry...aber ich schnall es einfach nicht!????
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Hallo nochmal,
> Sorry...aber ich schnall es einfach nicht!????
Wie auch, wenn du nur 2 min draufguckst, in Mathe fällt nix vom Himmel.
Halte dich an die Definition von Injektivität:
Wenn g injektiv ist, so bedeutet das, dass aus [mm] $g(z_1)=g(z_2)$ [/mm] folgt, dass [mm] $z_1=z_2$ [/mm] ist
Salopp gesagt, wenn also zwei Funktionswerte gleich sind, dann sind schon die Argumente gleich.
Was sind in $g(f(x))=g(f(y))$ die Argumente von g?
Was folgt also? ...
Gruß
schachuzipus
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