Injektivität + basis vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Do 17.04.2008 | | Autor: | mahmuder |
| Aufgabe | f: K - L g: L-M
Wenn g°f injektiv sind, dann ist auch f injektiv.Beweis?
Seien a, b und c paarweise verschiedene reele Zahlen. Zeigen Sie, dass
die Vektoren v1 =(1,a,a²) v2=(1,b,b²) und v3=(1,c,c2)
eine Basis von R3 darstellen
(nat¨urlich ohne Verwendung von Determinanten!). |
Hallo zusammen. Ich hab erst neu mit dem Mathestudium begonnen und komme mit einigen Aufgaben nicht zurecht. Wäre echt um jede Antwort dankbar!
mahmuder
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> f: K - L g: L-M
> Wenn g°f injektiv sind, dann ist auch f injektiv. Beweis?
>
>
> Seien a, b und c paarweise verschiedene reele Zahlen.
> Zeigen Sie, dass
> die Vektoren v1 =(1,a,a²) v2=(1,b,b²) und v3=(1,c,c2)
> eine Basis von R3 darstellen
> (nat¨urlich ohne Verwendung von Determinanten!).
> Hallo zusammen. Ich hab erst neu mit dem Mathestudium
> begonnen und komme mit einigen Aufgaben nicht zurecht.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Zunächst ein wichtiger Hinweis: wir erwarten von Dir eigene Lösungsansätze bzw. konkrete Fragen.
Dies ist auch deshalb sehr wichtig, weil sich hinter "nicht klarkommen" verschiedenerlei verbergen kann, angefangen bei Unkenntnis der Definitionen bis hin zu einer winzigen fehlende Idee bei irgendeiner Umformung.
Bei Deinen Augaben wäre es zunächst wichtig zu wissen, wie die Injektivität einer Funktion h definiert ist.
Danach notiere die Voraussetzungen, und anschließend, was Du unter diesen Voraussetzungen zeigen willst.
Bei Dir wäre zu zeigen: f injektiv, dh. aus f(x)=f(y) folgt x=y
Dann geht's los: Sei f(x)=f(y)
und nun mußt Du irgendwie die Voraussetzung ins Spiel bringen.
Die andere Aufgabe würde ich zeigen, indem ich die lineare Unabhängigkeit der drei nachweise.
Schritt 1 dafür ist die genaue Kenntnis der Def. der linearen Unabhängigkeit.
Was ist hierfür zu zeigen?
Gruß v. Angela
P.S.: Stelle bitte, falls Du uns öfter besuchst, verschiedene Fragen in jeweils einer eigenen Diskussion. Sonst wird's schnell unübersichtlich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Sa 19.04.2008 | | Autor: | mahmuder |
Hallo nochmal und vielen Dank. Bei der Vektorenaufgabe habe ich mit einem lin. Gleichungssystem die lin. Unabhängigkeit der Vektoren gezeigt. Um u zeigen, dass sie somit eine Basis in R³ darstellen reicht das ja oder nicht?
Bei der Injektivität hab ich zwar gezeigt dass wenn f und g injektiv sind auch f°g injektiv ist.
Aber bei dieser Aufgabe hänge ich hier:
g°f = g°(f(x)) = g°(f(y)) so hab ich angefangen.
Kann ich einfach g weglassen und sagen dass f somit injektiv sein muss?
DANKE!
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> Bei der Vektorenaufgabe habe
> ich mit einem lin. Gleichungssystem die lin. Unabhängigkeit
> der Vektoren gezeigt. Um u zeigen, dass sie somit eine
> Basis in R³ darstellen reicht das ja oder nicht?
Hallo,
ja, das reicht, sofern Euch der Dimensionsbegriff bereits bekannt ist.
Wenn der noch nicht eingeführt wäre, müßtest Du auch noch zeigen, daß sie den [mm] \IR^3 [/mm] erzeugen.
>
> Bei der Injektivität hab ich zwar gezeigt dass wenn f und g
> injektiv sind auch f°g injektiv ist.
> Aber bei dieser Aufgabe hänge ich hier:
>
> g°f = g°(f(x)) = g°(f(y)) so hab ich angefangen.
>
> Kann ich einfach g weglassen und sagen dass f somit
> injektiv sein muss?
Nein.
Ich mache das jetzt, weil Du schreibst, daß Du ganz am Studienanfang bist, mal etwas ausführlich, damit Du auch siehst, wie man es aufschreibt.
Voraussetzung:
Sei f: K [mm] \to [/mm] L und g: [mm] L\to [/mm] M, und es sei [mm] g\circ [/mm] f injektiv.
Zu zeigen:
Es ist f injektiv, dh. für alle x,y [mm] \in [/mm] K mit f(x)=f(y) folgt x=y.
Beweis:
Seien x,y [mm] \in [/mm] K mit [mm] \red{f(x)=f(y)}
[/mm]
==> g(f(x))=g(f(y))
==> [mm] (g\circ f)(x)=(g\circ [/mm] f)(y)
So. Nun kommt Dein großer Einsatz: wirf jetzt die Injektivität von [mm] g\circ [/mm] f in die Waagschale.
[mm] \red{==> ...}.
[/mm]
Dann ein abschließender Satz: aus f(x)=f(y) folgt ..., also ist die Funktion f injektiv.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 So 20.04.2008 | | Autor: | mahmuder |
Vielen Dank Angela
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