Injektivität/Surjektivität < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Entscheiden Sie ob die Funktion injektiv, surjektiv, bijektiv ist. Bitte begründen Sie die Antwort.
a) f1 : [mm] \IR \to \IR [/mm] : x [mm] \mapsto [/mm] (x - [mm] 1)^{3} [/mm] + 2
b) f2: [mm] \IR \to \IR [/mm] : x [mm] \mapsto [/mm] (x - [mm] 1)^{5} [/mm] - x
c) f3 : [mm] \IC \backslash [/mm] {1} [mm] \to \IC [/mm] : x [mm] \mapsto \bruch{1 - ix}{1 - x} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo.
Bei a und b weiß ich nicht wie ich es formal korrekt erledige, ich kann zwar den Graphen zeichnen und dann entscheiden, aber ich glaube dass hier eher eine Art 'Beweis' gesucht wird.
Zwecks Injektivität habe ich bei Aufgabe a) probiert einfach zwei beliebige x1, x2 in die Funktion einzusetzen um überprüfen ob f(x1) = f(x2) ist und x1=x2, bei b weiß ich diesbezüglich allerdings auch nicht weiter.
Bei c) bräuchte ich ebenso einen Denkanstoß, für den ich sehr dankbar wäre!
Besten Dank im Voraus,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Do 22.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Injektivität heißt, dass für alle a, b gilt:
$f(a)=f(b) [mm] \to [/mm] a=b$
Nun einfach die Funktionsterme einsetzen und umformen.
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Zu Punkt a)
f(a) = f(b) [mm] \to [/mm] a = b
f(a) = [mm] (a-1)^3+2
[/mm]
f(a) = [mm] (a^3-3a^2+3a+1)
[/mm]
f(b) = [mm] (b-1)^3+2
[/mm]
f(b) = [mm] (b^3-3b^2+3b+1)
[/mm]
[mm] (a^3-3a^2+3a+1) [/mm] = [mm] (b^3-3b^2+3b+1)
[/mm]
Wie soll ich das jetzt bitte umformen um Injektivität zeigen zu können?
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> Zu Punkt a)
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> f(a) = f(b) [mm]\to[/mm] a = b
>
> f(a) = [mm](a-1)^3+2[/mm]
> f(a) = [mm](a^3-3a^2+3a+1)[/mm]
>
> f(b) = [mm](b-1)^3+2[/mm]
> f(b) = [mm](b^3-3b^2+3b+1)[/mm]
>
> [mm](a^3-3a^2+3a+1)[/mm] = [mm](b^3-3b^2+3b+1)[/mm]
>
> Wie soll ich das jetzt bitte umformen um Injektivität
> zeigen zu können?
Hallo,
das Ausklammern macht Mühe und verstellt den Blick fürs wesentliche:
> f(a) = [mm](a-1)^3+2[/mm]
> f(b) = [mm](b-1)^3+2[/mm]
sei f(a)=f(b)
==> [mm] (a-1)^3+2=(b-1)^3+2
[/mm]
==> [mm] (a-1)^3=(b-1)^3
[/mm]
==> ???
Gruß v. Angela
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=> a = b
=> f(x) ist injektiv.
Wie allerdings die Surjektivität gezeigt werden kann ist mir nach wie vor ein Rätsel.
bei Punkt b) wäre das also:
f(a) = [mm] (a-1)^5-a
[/mm]
f(b) = [mm] (b-1)^5-b
[/mm]
[mm] (a-1)^5-a [/mm] = [mm] (b-1)^5-b
[/mm]
=> (a = b)
=> injektiv
Ist grundsätzlich jede Funktion mit einer unbekannten Variable injektiv, solange nur mit einer ungeraden Zahl potenziert wird?
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> => a = b
> => f(x) ist injektiv.
Ich hoffe, Du bist auf dem rechten Weg dorthin gekommen, mit der dritten Wurzel.
>
> bei Punkt b) wäre das also:
>
> f(a) = [mm](a-1)^5-a[/mm]
> f(b) = [mm](b-1)^5-b[/mm]
>
> [mm](a-1)^5-a[/mm] = [mm](b-1)^5-b[/mm]
>
> => (a = b)
Wie dieser Schluß rechentechnisch funktioniert, ist mir unklar...
> => injektiv
Nein, das stimmt nicht:
betrachte [mm] f_2(0) [/mm] und [mm] f_2(1).
[/mm]
>
> Ist grundsätzlich jede Funktion mit einer unbekannten
> Variable injektiv, solange nur mit einer ungeraden Zahl
> potenziert wird?
Ich weiß nicht genau, was Du hiermit meinst.
Die Funktion f-2 ist ein ungerades Polynom und ist nicht injektiv.
> Wie allerdings die Surjektivität gezeigt werden kann ist
> mir nach wie vor ein Rätsel.
Für Surjektivität mußt Du ja zeigen, daß es zu jedem Element y des Wertebereiches ein x aus dem Definitionsbereich gibt mit f(x)=y.
Nehmen wir die Funktion [mm] f_1.
[/mm]
Sei y [mm] \in \IR [/mm] (Wertebereich) beliebig.
Ich zeige jetzt, daß ich ein x finde, welches hierauf abgebildet wird:
[mm] f_1(\wurzel[3]{y-2}+1)=y, [/mm] also surjektiv.
Gruß v. Angela
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Recht herzlichen Dank erstmals für die Bemühungen! Echt toll!
Surjektivität zeigen haßt du mir einleuchtend erläutert.
Kurze Kontrollfrage nochmals zu f1:
[mm] (a-1)^3 [/mm] = [mm] (b-1)^3 [/mm] // 3. Wurzel ziehen
a-1 = b-1 // +1
a = b q.e.d
=> injektiv
Äquivalent dazu f2:
[mm] (a-1)^5 [/mm] - a = [mm] (b-1)^5 [/mm] - b // 5. Wurzel ziehen
a - 1 - [mm] \wurzel[5]{a} [/mm] = b - 1 - [mm] \wurzel[5]{b}
[/mm]
a - [mm] \wurzel[5]{a} [/mm] = b - [mm] \wurzel[5]{b}
[/mm]
a [mm] \not= [/mm] b => NICHT injektiv
Allerdings bleib ich bei der Prüfung auf Surjektivität bei [mm] \wurzel[5]{y} [/mm] = x - [mm] \wurzel{x} [/mm] hängen.
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> Recht herzlichen Dank erstmals für die Bemühungen! Echt
> toll!
>
> Surjektivität zeigen haßt du mir einleuchtend erläutert.
>
> Kurze Kontrollfrage nochmals zu f1:
>
> [mm](a-1)^3[/mm] = [mm](b-1)^3[/mm] // 3. Wurzel ziehen
> a-1 = b-1 // +1
> a = b q.e.d
> => injektiv
Das ist jetzt richtig: ausgehend von [mm] f_1(a)=f_1(b) [/mm] folgte zwingend a=b, also ist die Funktion injektiv.
>
> Äquivalent dazu f2:
>
> [mm](a-1)^5[/mm] - a = [mm](b-1)^5[/mm] - b // 5. Wurzel ziehen
> a - 1 - [mm]\wurzel[5]{a}[/mm] = b - 1 - [mm]\wurzel[5]{b}[/mm]
Dieser Rechenschritt stimmt nicht!
Du brauchst das aber auch nicht. Wenn Du zeigen willst, daß eine Funktion nicht injektiv ist, tut's ein Gegenbeispiel.
Hast Du [mm] f_2(0) [/mm] und [mm] f_2(1) [/mm] berechnet? Da kommt dasselbe raus!
> Allerdings bleib ich bei der Prüfung auf Surjektivität bei
> [mm]\wurzel[5]{y}[/mm] = x - [mm]\wurzel{x}[/mm] hängen.
Zur Surjektivität fehlt mir im Moment auch die zündende Idee, jedenfalls wenn ich auch Ableitungen verzichten möchte.
Gruß v. Angela
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Hallo,
zur Surjektivität von [mm] f_2.
[/mm]
Die Funktion ist stetig und nach oben und unten nicht beschränkt.
Daher nimmt sie jeden Wert aus [mm] \IR [/mm] an.
Gruß v. Angela
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