Injektivität, Surjektivität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Di 02.09.2008 | | Autor: | TMV |
| Aufgabe | | Für welche a,b,c [mm] \in \IR [/mm] ist die Abbildung f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] gegeben durch [mm] x\mapsto ax^{2}+bx+c, [/mm] injektiv bzw surjektiv? |
Hallo,
meine Vermutung: f ist für a=0 und b,c [mm] \in \IR [/mm] injektiv und surjektiv, weil durch das [mm] x^2 f(x_{1})=f(x_{2}) [/mm] ohne das x2=x1 ist(also keine Injektivität vorliegt) und nicht jedes y [mm] \in \IR [/mm] ein Urbild hat(also keine Surjektvität vorliegt. Diese Erkenntnisse beruhen auf der Vorstellung der Funktion, jedoch weiß ich nicht wie ich das formal begründen soll. Hier meine Ideen:
Injektivität: ich setze [mm] f(x_{1})=f(x_{2}) [/mm] und erhalte durch umformen [mm] x_{1}=x_{2} [/mm] nur bei a=0.
Bei der Surjektivität weiß ich nun aber nicht weiter(die Defintion ist mir bekannt)
Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Di 02.09.2008 | | Autor: | max3000 |
HI.
Bei der Injektivität ist eigentlich alles richtig, nur darfst du nicht vergessen den Sonderfall b=0 auszuschließen.
Die Surjektivität besagt, dass die Bildmenge gleich dem Wertebereich ist, also müssen alle Zahlen in [mm] \IR [/mm] angenommen werden. Das geht natürlich auch nur, wenn a=0 ist. Beweisen kannst du das, indem du mal den Wertebereich explizit ausrechnest (Fallunterscheidung, a positiv oder negativ). Für positive a geht der Wertebereich zum Beispiel vom Minimalwert bis unendlich. Wenn du dieses Intervall berechnet hast solltest du daraus schlussfolgern können, dass das ganze nur für $a=0$ und [mm] b\not=0 [/mm] geht.
|
|
|
| |
|
> Für welche a,b,c [mm]\in \IR[/mm] ist die Abbildung f: [mm]\IR \to \IR,[/mm]
> gegeben durch [mm]x\mapsto ax^{2}+bx+c,[/mm] injektiv bzw
> surjektiv?
Hallo,
von der Anschauung her scheint Dir die Sache ja recht klar zu sein.
Du solltest das nun systematisch untersuchen.
1.Fall: [mm] [b]a\not=0[/b]
[/mm]
Der Graph der Funktion ist eine Parabel, in Scheitelpunktform sieht f so aus:
f(x)= [mm] a(x+\bruch{b}{2})^2 [/mm] - [mm] \bruch{b^2}{4a} [/mm] + ac.
Was bedeutet injektiv? Zu jedem Bild gibt es genau ein Urbild.
Gib nun zwei verschiedene x-Werte [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] an, für die [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] ist.
Damit hast Du die Injektivität widerlegt.
Surjektiv bedeutet, daß auf jedes Element des Wertebereiches ein Element des Definitionsbereiches abgebildet wird.
Wenn Du weißt, wo die Parabel ihren Scheitel hat, sollte es Dir gelingen, eine reelle Zahl anzugeben, auf die kein Element des Definitionsbereiches abgebildet wird. (Du mußt hier zwischen a>0 und a<0 unterscheiden.)
2. Fall: a=0 und [mm] b\not=0.
[/mm]
Du hast eine Gerade mit der Steigung b vorliegen, offensichtlich ist die Funktion injektiv und surjektiv - das muß aber bewiesen werden.
injektiv: sei [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] ==> ... ==> [mm] x_1=x_2. [/mm] (Sowas in der Art hattest Du wohl auch schon).
surjektiv: Du mußt nun zeigen, daß Du zu jedem beliebigen [mm] y\IR [/mm] ein [mm] x_y [/mm] findest, mit [mm] f(x_y)=y.
[/mm]
Du mußt also ein [mm] x_y [/mm] suchen so, daß [mm] y=f(x_y)=bx_y+c [/mm] gilt. Dieses [mm] x_y [/mm] nimmst Du dann und rechnest vor, daß es auf y abgebildet wird.
3. Fall:a=0 und b=0
Die Funktion ist eine Parallele zur x-Achse.
Gib zwei x-Werte an, die dassselbe Bild haben, damit ist dann gezeigt, daß die Funktion nicht injektiv ist.
Zeig, daß die Bildmenge [mm] \not= \IR [/mm] ist, damit ist die Surjektivität widerlegt.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
