Injektivität beweisen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo. Ich studiere Physik im 1. Semester und habe heute folgende Aufgabe erhalten. Für g: A--->B und f:B----->C soll bewiesen werden,dass
a) falls f o g injektiv ist, so ist f injektiv
b) falls f o g surjektiv ist, so ist g surjektiv
c) falls f o g surjektiv ist, so ist f surjektiv.
Ich kenne nun die Definitionen von Injektivität und surjektivität kann diese jedoch nicht anwenden. ICh würde mich wahnsinnig über eine Antwort freuen.
Moritz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Mi 04.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi und willkommen hier!
Manchmal hilft es statt $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ auch [mm] $\neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A$ zu zeigen, da diese 2 Sachen logisch äquivalent sind.
Also statt $f [mm] \circ g\text{ inj.} \Rightarrow f\text{ inj.}.$ [/mm] kannst du zeigen $f [mm] \text{ nicht inj.} \Rightarrow [/mm] f [mm] \circ [/mm] g [mm] \text{ nicht inj.}$, [/mm] was auch recht einsichtig ist.
Denn wenn f(x) nicht injektiv ist, wie soll dann f(g(x)) injektiv sein? Draußen herum steht ja da auch ein f.
Den Rest kannst du ja mal selber versuchen! Poste am besten auch deine Ansätze, damit man dir dann besser helfen kann.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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also seien x, y € A mit f(x) = f(y) gegeben
Da f nicht injektiv folgt, dass f(x)=f(y) ----->x<>y So weiter komme ich nicht
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich glaub', wir machen mal eine Aufgabe zusammen, damit Du ein wenig siehst, wie das geht.
Behauptung: Sei g: A--->B und f:B----->C.
Dann gilt:
f o g injektiv ==> f injektiv
Voraussetzung: f o g injektiv ,
dh. (f o g)(a)=(f o g)(a') ==> a=a'
zu zeigen: Dann ist f injektiv, dh.
f(b)=f(b') ==> b=b'
Beweis: Sei also f o g: [mm] A\to [/mm] C injektiv.
Seien [mm] b,b'\in [/mm] B mit ----- Ömmm, Hiiiilfeee!
Die Aussage stimmt doch gar nicht!
Gegenbeispiel:
[mm] A:=\{1,2\}, [/mm] B:= [mm] \{a,b,c\}, C:=\{ D,E} [/mm] und
g(1):=a
g(2):=b
f(a):=D
f(b):=E
f(c):=E.
Offensichtlich ist f nicht injektiv,
obgleich [mm] f\circ [/mm] g injektiv ist.
[mm] (f\circ [/mm] g)(1)=f(g(1))=f(a)=D
[mm] (f\circ [/mm] g)(2)=f(g(2))=f(b)=E.
VERDACHT: Fehler in der Aufgabenstellung.
Vielleicht überprüfst Du das nochmal.
Gruß v. Angela
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Hallo,
Deine Aufgabe a) soll wahrscheinlich heißen:
> Für g: A--->B und f:B----->C soll bewiesen werden,dass
> a) falls f o g injektiv ist, so ist g injektiv
Ich mach's Dir also hier vor:
Behauptung: Sei g: A--->B und f:B----->C.
Dann gilt:
f o g injektiv ==> g injektiv
Voraussetzung: f o g injektiv ,
dh. (f o g)(a)=(f o g)(a') ==> a=a'
zu zeigen: Dann ist g injektiv, dh.
g(a)=g(a') ==> a=a'
Beweis:
Seien [mm] a,a'\in [/mm] A mit
g(a)=g(a')
Nun wende hierauf die Funktion f an und nütze die Voraussetzung.
Jetzt klappt's besser, nicht wahr?
Gruß v. Angela
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>Für g: A--->B und f:B----->C
> soll bewiesen werden,dass
> c) falls f o g surjektiv ist, so ist f surjektiv.
Hallo,
Voraussetzung: f o g surjektiv ,
da. zu jedem [mm] c\in [/mm] C findet man ein [mm] a\in [/mm] a mit (f o g)(a)=c
zu zeigen: dann ist f surjektiv,
dh.für jedes [mm] c\in [/mm] C findet man ein [mm] b\in [/mm] B mit f(b)=c.
Beweis:
Sei [mm] c\in [/mm] C.
Nach Voraussetzung gibt es ein [mm] a\in [/mm] A mit
c=(f o g)(a)= f(...).
Mit b:= ??? gilt also: f(b)=c, also ist f surjektiv.
Gruß v. Angela
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> Für g: A--->B und f:B----->C
> soll bewiesen werden,dass
> b) falls f o g surjektiv ist, so ist g surjektiv
Hallo,
beim Beweis von b) mußt Du wie schon bei a) (mit der von Dir geposteten Aufgabensgestellung) scheitern, denn diese Aussage stimmt auch nicht:
Gegenbeispiel:
$ [mm] A:=\{1,2\}, [/mm] $ B:= $ [mm] \{a,b,c\}, C:=\{ D,E\} [/mm] $ und
g(1):=a
g(2):=b
f(a):=D
f(b):=E
f(c):=E.
Offensichtlich ist g nicht surjektiv,
obgleich $ [mm] f\circ [/mm] $ g surjektiv ist:
$ [mm] (f\circ [/mm] $ g)(1)=f(g(1))=f(a)=D
$ [mm] (f\circ [/mm] $ g)(2)=f(g(2))=f(b)=E.
Gruß v. Angela
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