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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Do 30.08.2007 | | Autor: | utze |
| Aufgabe | f: X [mm] \to [/mm] Y und g: Y [mm] \to [/mm] Z seien Abbildungen. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
a) Sind f und g injektiv, so ist g [mm] \circ [/mm] f injektiv
b) Ist g [mm] \circ [/mm] f injektiv, so ist f injektiv
c) Ist g [mm] \circ [/mm] f injektiv, so ist g injektiv |
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Hallo,
ich habe häufig Probleme mit Aufgabenstellungen dieser Art.
Rein intuitiv würde ich behaupten dass Aussagen a u. c wahr sind und b falsch.
Laut Definition ist eine Fkt. injektiv falls jedes Elememt der Wertemenge nur einmal angenommen wird und damit aus [mm] f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2} [/mm] folgt.
Das habe ich soweit verstanden, leider aber keinen Ansatz wie man so etwas beweisen bzw. widerlegen kann.
Über einen kleinen Schubs in die richtige Richtung würde ich mich sehr freuen.
Freundliche Grüße
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> f: X [mm]\to[/mm] Y und g: Y [mm]\to[/mm] Z seien Abbildungen. Beweisen oder
> widerlegen Sie folgende Aussagen:
>
> a) Sind f und g injektiv, so ist g [mm]\circ[/mm] f injektiv
> b) Ist g [mm]\circ[/mm] f injektiv, so ist f injektiv
> c) Ist g [mm]\circ[/mm] f injektiv, so ist g injektiv
> Laut Definition ist eine Fkt. injektiv falls ...aus
> [mm]f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}[/mm] folgt.
> Das habe ich soweit verstanden, leider aber keinen Ansatz
> wie man so etwas beweisen bzw. widerlegen kann.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Aufgabe a) kannst Du nun einach unter Anwendung der Definition lösen.
Nach Voraussetzung sind f,g injektiv.
Nun seien a,b [mm] \in [/mm] X mit
[mm] (g\circ f)(a)=(g\circ [/mm] f)(b)
==> g(f(a))=g(f(b))
Nun bring die Voraussetzung, daß g injektiv ist, ins Spiel.
==>....
Schau Dir für c) mal dies an:
f: [mm] \IR_{\ge 0}\to \IR,
[/mm]
[mm] f(x):=\wurzel{x}
[/mm]
g: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
[mm] g(x):=x^2
[/mm]
[mm] g\circ [/mm] f: [mm] \IR_{\ge =} \to \IR
[/mm]
[mm] (g\circ [/mm] f):=...
zu b) Diese Behauptung stimmt.
Nimm zum Beweis an, daß [mm] g\circ [/mm] f injektiv ist und f nicht injektiv und führe dies zu einem Widersprüch.
Also: Sei [mm] g\circ [/mm] f injektiv.
Angenommen, f ist nicht injektiv.
Dann gibt es a, b mit [mm] a\not=b [/mm] und f(a)=f(b).
Nun wende hierauf g an.
> Rein intuitiv würde ich behaupten dass Aussagen a u. c wahr sind und b falsch.
Es ist ja bei b) und c) genau umgekehrt.
Ich weiß ja nicht, wie Du Deine Intuition gewonnen hast. Falls Du Bildchen mit Pfeilen gezeichnet hast, bedenke folgendes:
[mm] (g\circ [/mm] f )(x)=g(f(x)) gewinnt man, indem man zuerst die Abbildung f auf x anwendet und anschließend aufs Ergebnis g.
Man macht das beim Malen leicht falsch rum am Anfang.
Gruß v. Angela
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