Injektivität und Surjektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seinen K ein Körper, V ein K-Vektorraum, U [mm] \subseteq [/mm] V ein linearer Unterraum und [mm] \IQ [/mm] (U) ein K-Vektorraum.
a) Zeigen Sie, dass die Abbldung f: V -> [mm] \IQ [/mm] (U), a -> a+U linear ist.
b) Unter welchen Bedingungen ist f injektiv? Beweisen Sie ihre Behauptung! c) Wann ist f surjektiv? Beweisen Sie dies ebenfalls! |
Hallo,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Injektiv bedeutet ja,dass jedes Element höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird und surjektiv bedeutet, dass jedes Element mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird. Aber ich verstehe nicht wie ich das beweisen soll... wäre super wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte... LG und danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Di 22.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es seinen K ein Körper, V ein K-Vektorraum, U [mm]\subseteq[/mm] V
> ein linearer Unterraum und [mm]\IQ[/mm] (U) ein K-Vektorraum.
> a) Zeigen Sie, dass die Abbldung f: V -> [mm]\IQ[/mm] (U), a -> a+U
> linear ist.
Was genau ist [mm] $\IQ(U)$? [/mm] ``Irgendein'' $K$-Vektorraum kann das nicht sein, ansonsten macht die Definition der Abbildung keinen Sinn. Ist es etwa $V/U$?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Di 22.05.2007 | | Autor: | superstar |
Hallo
> Was genau ist [mm]\IQ(U)[/mm]? ''Irgendein'' [mm]K[/mm]-Vektorraum kann das
> nicht sein, ansonsten macht die Definition der Abbildung
> keinen Sinn. Ist es etwa [mm]V/U[/mm]?
Also Q {a+U: a [mm] \in [/mm] V} das stand auf einem anderen Blatt. Sorry, dass ich das vergessen habe...
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Es wäre super, wenn mir doch jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte. Wäre echt nett...
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Hallo,
um die Linearität der Abbildung f zu zeigen, mußt Du zeigen, daß für alle
v,w [mm] \in [/mm] V unf [mm] \lambda\in [/mm] K gilt
f(v+w)=f(v)+f(w)
und [mm] f(\lamda v)=\lambda [/mm] f(v).
Da sich Deine Rechnungen im Quotientenraum Q(U) abspielen, mußt Du hierfür die Eigenschaften der dort definierten Verknüpfungen verwenden.
Zur Injektivität:
lineare Abbildungen sind injektiv, wenn ihr Kern nur aus der Null besteht.
Was ist der Kern von f? Die Menge aller Elemente von v, welche auf die Null abgebildet werden - auf die Null in Q(U) wohlgemerkt.
Gruß v. Angela
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