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| Aufgabe | | Es sei f : A -> B eine Abbildung mit der folgenden Eigenschaft: Für beliebige S,T [mm] \subseteq [/mm] gilt f(S [mm] \cap [/mm] T ) = f(S) [mm] \cap [/mm] f(T). Zeigen Sie, dass f injektiv ist. |
Hallo,
das ist eine alte Klausuraufgabe und mir fehlt so der Ansatz. Also ich weiß , wann eine Funktion injektiv ist, aber ich weiß nicht , wie ich das auf den Beweis anwenden soll. Bin dankbar für jeden Tipp.
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 So 06.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo pc_doctor!
> Es sei f : A -> B eine Abbildung mit der folgenden
> Eigenschaft: Für beliebige S,T [mm]\subseteq[/mm] A gilt f(S [mm]\cap[/mm] T )
> = f(S) [mm]\cap[/mm] f(T). Zeigen Sie, dass f injektiv ist.
$f$ ist injektiv, wenn für alle [mm] $a_1,a_2\in [/mm] A$ mit [mm] $f(a_1)=f(a_2)$ [/mm] bereits [mm] $a_1=a_2$ [/mm] gilt.
Seien also [mm] $a_1,a_2\in [/mm] A$ mit [mm] $f(a_1)=f(a_2)$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $a_1=a_2$.
[/mm]
Jetzt gilt es, irgendwie die Voraussetzung auf gewisse Mengen [mm] $S,T\subseteq [/mm] A$ anzuwenden.
Mir fallen da spontan [mm] $S=\{a_1\}$ [/mm] und [mm] $T=\{a_2\}$ [/mm] ein...
Viele Grüße
Tobias
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Hallo und danke für die Antwort.
Auf die Idee bin ich auch gekommen , aber hab sie schnell wieder vergessen, weil ich dachte , das ist zu einfach.
Wenn ich also folgendes habe:
f( [mm] (a_1) \cap (a_2) [/mm] )
Ausgehend davon, dass f injektiv ist , sage ich
[mm] f(a_1) \cap f(a_2) [/mm] => [mm] a_1 \cap a_2
[/mm]
Kann ich das so machen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 So 06.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Wenn ich also folgendes habe:
>
> f( [mm](a_1) \cap (a_2)[/mm] )
> Ausgehend davon, dass f injektiv ist ,
Das versuchen wir doch gerade erst zu beweisen. Das dürfen wir nicht schon als gegeben voraussetzen.
> sage ich
> [mm]f(a_1) \cap f(a_2)[/mm]
Was soll [mm] $f(a_1)\cap f(a_2)$ [/mm] bedeuten?
[mm] $f(a_1)$ [/mm] und [mm] $f(a_2)$ [/mm] sind Elemente von $B$ und im Allgemeinen gar keine Mengen.
Meinst du vielleicht [mm] $f(\{a_1\})\cap f(\{a_2\})$?
[/mm]
> => [mm]a_1 \cap a_2[/mm]
Gleicher Einwand: Was soll [mm] $a_1\cap a_2$ [/mm] bedeuten?
[mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] sind Elemente von $A$ und im Allgemeinen gar keine Mengen.
> Kann ich das so machen
> ?
Nein.
Schreibe doch zunächst einmal auf, was uns die Anwendung der Voraussetzung auf [mm] $S=\{a_1\}$ [/mm] und [mm] $T=\{a_2\}$ [/mm] liefert, nämlich
[mm] $f(\{a_1\}\cap\{a_2\})=f(\{a_1\})\cap f(\{a_2\})$.
[/mm]
Sei [mm] $b:=f(a_1)$.
[/mm]
Begründe, dass [mm] $b\in f(\{a_1\})\cap f(\{a_2\})$ [/mm] gilt.
Also folgt
[mm] $b\in f(\{a_1\}\cap\{a_2\})$.
[/mm]
Was bedeutet das nach Definition von [mm] $f(\{a_1\}\cap\{a_2\})$?
[/mm]
(Wie lautet diese Definition noch gleich?)
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>
> Sei [mm]b:=f(a_1)[/mm].
>
> Begründe, dass [mm]b\in f(\{a_1\})\cap f(\{a_2\})[/mm] gilt.
>
> Also folgt
>
> [mm]b\in f(\{a_1\}\cap\{a_2\})[/mm].
>
> Was bedeutet das nach Definition von
> [mm]f(\{a_1\}\cap\{a_2\})[/mm]?
> (Wie lautet diese Definition noch gleich?)
[mm]f(\{a_1\}\cap\{a_2\})[/mm] bedeutet [mm] f(\{a_1\}) \cap f(\{a_2\}) [/mm] Aber trotzdem sehe ich den roten Faden noch nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 So 06.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
> >
> > Sei [mm]b:=f(a_1)[/mm].
> >
> > Begründe, dass [mm]b\in f(\{a_1\})\cap f(\{a_2\})[/mm] gilt.
Hast du das versucht?
Denke an [mm] $f(a_1)=f(a_2)$.
[/mm]
> > Also folgt
> >
> > [mm]b\in f(\{a_1\}\cap\{a_2\})[/mm].
> >
> > Was bedeutet das nach Definition von
> > [mm]f(\{a_1\}\cap\{a_2\})[/mm]?
> > (Wie lautet diese Definition noch gleich?)
>
> [mm]f(\{a_1\}\cap\{a_2\})[/mm] bedeutet [mm]f(\{a_1\}) \cap f(\{a_2\})[/mm]
Zwar gilt
[mm] $f(\{a_1\}\cap\{a_2\})=f(\{a_1\})\cap f(\{a_2\})$
[/mm]
nach der besonderen Voraussetzung an $f$.
Gefragt habe ich aber nach der Definition von [mm] $f(\{a_1\}\cap\{a_2\})$ [/mm] und der daraus resultierenden Bedeutung von [mm] $b\in f(\{a_1\}\cap\{a_2\})$.
[/mm]
Möglicherweise weißt du nicht, was $f(M)$ für eine Teilmenge $M$ von A bedeutet:
[mm] $f(M):=\{f(a)\;|\;a\in M\}=\{b'\in B\;|\;\exists a\in M\colon f(a)=b'\}$.
[/mm]
Also ist
[mm] $f(\{a_1\}\cap\{a_2\})=\{b'\in B\;|\;\exists a\in\{a_1\}\cap\{a_2\}\colon f(a)=b'\}$.
[/mm]
[mm] $b\in f(\{a_1\}\cap \{a_2\})$ [/mm] bedeutet also, dass ein [mm] $a\in\{a_1\}\cap\{a_2\}$ [/mm] existiert mit $f(a)=b$.
Schlussfolgere nun aus [mm] $a\in\{a_1\}\cap\{a_2\}$ [/mm] wie gewünscht [mm] $a_1=a_2$.
[/mm]
> Aber trotzdem sehe ich den roten Faden noch nicht.
Gestartet waren wir mit beliebig vorgegebenen [mm] $a_1,a_2\in [/mm] A$ mit [mm] $f(a_1)=f(a_2)$.
[/mm]
Zeigen müssen wir [mm] $a_1=a_2$.
[/mm]
Idee war nun, die besondere Voraussetzung an $f$ ins Spiel zu bringen.
Also wenden wir sie mal an auf [mm] $S=\{a_1\}$ [/mm] und [mm] $T=\{a_2\}$.
[/mm]
Sie liefert uns die Gleichheit der Mengen
[mm] $N:=f(\{a_1\}\cap\{a_2\})$
[/mm]
und
[mm] $N':=f(\{a_1\})\cap f(\{a_2\})$.
[/mm]
($N$ und $N'$ sind Teilmengen von $B$.)
$N=N'$ bedeutet
[mm] $b\in N\iff b\in [/mm] N'$
für alle [mm] $b\in [/mm] B$.
Um dies auszunutzen, wenden wir dies auf ein [mm] $b\in [/mm] B$ an.
Welches [mm] $b\in [/mm] B$ fällt uns da ein?
Mir jedenfalls außer [mm] $b:=f(a_1)=f(a_2)$ [/mm] keines.
Glücklicherweise gilt für dieses $b$ tatsächlich [mm] $b\in [/mm] N'$ und wir können [mm] $b\in [/mm] N$ folgern.
Nun gilt es, daraus [mm] $a_1=a_2$ [/mm] zu folgern.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 So 06.04.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar, vielen Dank für die Antwort. Ich werde sie mir noch mehrmals angucken, und mich melden, wenn mir was unklar erscheint. Danke.
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