Injektivität zeigen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] \Omega:=\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR\;|\;x_1+x_2+x_3 \not= -1 \} [/mm] und die Funktion [mm] f:\Omega\to\IR^3 [/mm] sei gegeben durch
[mm] f(x_1,x_2,x_3) [/mm] = [mm] \left( \bruch{x_1}{1+x_1+x_2+x_3},\bruch{x_2}{1+x_1+x_2+x_3},\bruch{x_3}{1+x_1+x_2+x_3} \right).
[/mm]
Zeige, dass f injektiv ist, bestimme [mm] f(\Omega) [/mm] und gib die Umkehrabbildung [mm] f^{-1}: f(\Omega) \to \Omega [/mm] an |
Hallo zusammen,
Was Injektivität bedeutet ist mir eigentlich klar. Mir scheint die Aufgabe intuitiv einfach, aber finde ich keinen Anfang (und geschweige denn ein Ende)
Folgende Unklarheiten habe ich bez. dieser Aufgabe:
1) Wie habe ich mir das [mm] f(\Omega) [/mm] vorzustellen bzw zu bestimmen? Ist es nicht einfach [mm] f(x_1,x_2,x_3) [/mm] mit der gegebenen Einschränkung für den Definitionsbereich? Oder erhalte ich am Ende eine neue Funktionsvorschrift?
2) Wie zeige ich, dass die Funktion injektiv ist? Ich weiß nicht, wie ich mit dem Merhdimensionalen umgehen soll!
Bin über Anregungen und Tipps sehr erfreut!
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Hi,
dein Urbildbereich besteht einfach aus allen Vektoren, deren Summe $ [mm] \not [/mm] = 1 $ ist. Das war dir zunächst sicherlich klar.
Nun betrachte $ f $. Die Funktion bildet eben diese Vektoren gemäß der Vorschrift
$ [mm] f(x_1,x_2,x_3) [/mm] $ = $ [mm] \left( \bruch{x_1}{1+(x_1+x_2+x_3)},\bruch{x_2}{1+(x_1+x_2+x_3)},\bruch{x_3}{1+(x_1+x_2+x_3)} \right) [/mm] $ ab nach $ [mm] \IR^3 [/mm] $.
Eine ähnliche Abbildung aus dem $ [mm] \IR^1 [/mm] $ wäre zB etwas wie $ [mm] g:\IR\setminus\{-1\} \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \frac{x}{1+x} [/mm] $
Dein $ [mm] \Omega$ [/mm] ist also nicht anderes als $ [mm] \IR^3 [/mm] $ ohne Definitionslücken. Du weißt ja, Nenner nicht Null...
Wie sieht der Bildbereich $ [mm] f(\Omega) [/mm] $ aus?
$ [mm] f(\Omega) [/mm] = [mm] \left\{\left( \bruch{x_1}{1+(x_1+x_2+x_3)},\bruch{x_2}{1+(x_1+x_2+x_3)},\bruch{x_3}{1+(x_1+x_2+x_3)} \right) : (x_1,x_2,x_3) \in \Omega \subset \IR^3 \right\} [/mm] = [mm] \left\{\left( \bruch{x_1}{1+(x_1+x_2+x_3)},\bruch{x_2}{1+(x_1+x_2+x_3)},\bruch{x_3}{1+(x_1+x_2+x_3)} \right) : x_1+x_2+x_2 \not=1 \right\}$
[/mm]
Das ist soweit auch sicherlich nichts neues. Was du aber bedenken solltest, ist, dass für $ [mm] f^{-1}: f(\Omega) \to \Omega [/mm] $ gilt, dass
$\ [mm] \left(\bruch{x_1}{1+(x_1+x_2+x_3)},\bruch{x_2}{1+(x_1+x_2+x_3)},\bruch{x_3}{1+(x_1+x_2+x_3)}\right) \in \Omega [/mm] \ [mm] \gdw [/mm] \ [mm] \bruch{x_1}{1+(x_1+x_2+x_3)} [/mm] + [mm] \bruch{x_2}{1+(x_1+x_2+x_3)} +\bruch{x_3}{1+(x_1+x_2+x_3)} \not [/mm] = 1 $
Zur injektivität ($ [mm] f^{-1} [/mm] $ ist nur definiert, wenn $ f $ injektiv ist):
Hier gehst du genauso vor, wie du es im $ [mm] \IR [/mm] $ auch getan hättest, gemäß der Definition:
$ f $ ist injektiv, falls: $ x [mm] \not= [/mm] x' [mm] \gdw [/mm] f(x) [mm] \not= [/mm] f(x') $
Bzw
$ f $ ist injektiv, falls: $ [mm] (x_1,...,x_n) \not= [/mm] (x'_1,...,x'_n) [mm] \gdw f((x_1,...,x_n)) \not= [/mm] f((x'_1,...,x'_n)) $
Zwei Vektoren $ [mm] (x_1,...,x_n), [/mm] (x'_1,...,x'_n) $ sind genau dann gleich, wenn ihre Komponenten übereinstimmen. Also $ [mm] x_i [/mm] = [mm] x_i' [/mm] $ für $ i = 1,...,n $
Versuche also zu zeigen, dass aus $ [mm] (x_1,x_2,x_3) \not= (x_1',x_2',x_3') [/mm] $ folgt, dass
[mm] $\left(\bruch{x_1}{1+(x_1+x_2+x_3)},\bruch{x_2}{1+(x_1+x_2+x_3)},\bruch{x_3}{1+(x_1+x_2+x_3)}\right) \not= \left(\bruch{x_1'}{1+(x_1'+x_2'+x_3')},\bruch{x_2'}{1+(x_1'+x_2'+x_3')},\bruch{x_3'}{1+(x_1'+x_2'+x_3')}\right) [/mm] $
Unter Umständen ist es sinnvoll die Komponenten separat auf Injektivität zu prüfen. Die Funktion $ g(x) := [mm] \frac{x}{1+x} [/mm] $ ist bspw. injektiv für $ x [mm] \in \IR [/mm] $. Davon ausgehend, könnte man sich das Ganze für den dreidimensionalen Fall überlegen. Habe aber selbst noch keine Idee, deshalb stelle ich die Frage auf halb-beantwortet.
Bei Rückfragen oder Anmerkungen, einfach melden.
Viele Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:42 Do 05.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm]\Omega:=\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR\;|\;x_1+x_2+x_3 \not= -1 \}[/mm]
> und die Funktion [mm]f:\Omega\to\IR^3[/mm] sei gegeben durch
sicher steht da innerhalb der Mengenklammer rechterhand [mm] $(x_1,x_2,x_3) \in \IR^{\textbf{\blue{3}}}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Do 05.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm]\Omega:=\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^{\textbf{\red{3}}}\;|\;x_1+x_2+x_3 \not= -1 \}[/mm]
> und die Funktion [mm]f:\Omega\to\IR^3[/mm] sei gegeben durch
>
> [mm]f(x_1,x_2,x_3)[/mm] = [mm] \left( \bruch{x_1}{1+x_1+x_2+x_3},\bruch{x_2}{1+x_1+x_2+x_3},\bruch{x_3}{1+x_1+x_2+x_3} \right).[/mm]
>
> Zeige, dass f injektiv ist, bestimme [mm]f(\Omega)[/mm] und gib die
> Umkehrabbildung [mm]f^{-1}: f(\Omega) \to \Omega[/mm] an
> 2) Wie zeige ich, dass die Funktion injektiv ist? Ich weiß
> nicht, wie ich mit dem Merhdimensionalen umgehen soll!
die Funktion ist genau dann injektiv, wenn für (alle) $x,y [mm] \in \Omega$ [/mm] gilt, dass $f(x)=f(y) [mm] \Rightarrow x=y\,.$ [/mm] (Das ist nur die Kontraposition der Aussage von Chopsuey.)
Du fängst also etwa so an:
Seien [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)$ [/mm] und [mm] $y=(y_1,y_2,y_3)$ [/mm] beide in [mm] $\Omega\,,$ [/mm] also [mm] $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3 \in \IR$ [/mm] mit [mm] $x_1+x_2+x_3 \not=-1$ [/mm] und [mm] $y_1+y_2+y_3 \not=-1\,.$ [/mm] (Das fordert man übrigens, damit der Nenner in den Komponenten von [mm] $f\,$ [/mm] nicht Null wird.)
Aus [mm] $f(x)=f(y)\,$ [/mm] folgt dann
$$ [mm] \left( \bruch{x_1}{1+x_1+x_2+x_3},\bruch{x_2}{1+x_1+x_2+x_3},\bruch{x_3}{1+x_1+x_2+x_3} \right)= \left( \bruch{y_1}{1+y_1+y_2+y_3},\bruch{y_2}{1+y_1+y_2+y_3},\bruch{y_3}{1+y_1+y_2+y_3} \right)\,.$$
[/mm]
Also das Gleichungssystem mit den [mm] $j\,$ [/mm] Gleichungen
[mm] $$j)\;\;\;\frac{x_j}{1+x_1+x_2+x_3}=\frac{y_j}{1+y_1+y_2+y_3}$$
[/mm]
für [mm] $j=1,2,3\,.$
[/mm]
Deine Aufgabe ist es nun, nachzurechnen, dass das Gleichungssystem aus den letztgenannten 3 Gleichungen nur genau für [mm] $(x_1,x_2,x_3)=(y_1,y_2,y_3)$ [/mm] lösbar ist.
Gruß,
Marcel
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Ok, das hat mir geholfen, jedoch komme ich nicht wirklich ans Ende meiner Lösung, eben zu zeigen, dass das Gleichungssystems
$ [mm] j)\;\;\;\frac{x_j}{1+x_1+x_2+x_3}=\frac{y_j}{1+y_1+y_2+y_3} [/mm] $
für $ [mm] j=1,2,3\,. [/mm] $
nur für genau $ [mm] (x_1,x_2,x_3)=(y_1,y_2,y_3) [/mm] lösbar ist.
Ich finde leider keinen Anfang, obwohl mir dies so leicht verständlich erscheint.
Kann man die Injektivität denn über die Umekhrfunktion zeigen? Also ich bestimme die Umkehrfunktion und erhalte damit eine Aussage über die Injekitivtät? (Da die Umkehrfunktion nur bei Injektivität definiert ist...)
DANKE für die bisherigen Antworten
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Mo 09.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok, das hat mir geholfen, jedoch komme ich nicht wirklich
> ans Ende meiner Lösung, eben zu zeigen, dass das
> Gleichungssystems
>
> [mm]j)\;\;\;\frac{x_j}{1+x_1+x_2+x_3}=\frac{y_j}{1+y_1+y_2+y_3}[/mm]
>
> für [mm]j=1,2,3\,.[/mm]
>
> nur für genau $ [mm](x_1,x_2,x_3)=(y_1,y_2,y_3)[/mm] lösbar ist.
> Ich finde leider keinen Anfang, obwohl mir dies so leicht
> verständlich erscheint.
Wir kürzen mal ab:
[mm] a:=x_1+x_2+x_3 [/mm] und [mm] b=y_1+y_2+y_3
[/mm]
Wenn Du zeigen kannst, das a=b ist, so folgt aus j): [mm] x_j=y_j
[/mm]
Wir haben
[mm] \frac{x_1}{1+a}=\frac{y_1}{1+b}
[/mm]
[mm] \frac{x_2}{1+a}=\frac{y_2}{1+b}
[/mm]
[mm] \frac{x_3}{1+a}=\frac{y_3}{1+b}.
[/mm]
Addiere mal diese 3 Gleichungen....
>
> Kann man die Injektivität denn über die Umekhrfunktion
> zeigen? Also ich bestimme die Umkehrfunktion und erhalte
> damit eine Aussage über die Injekitivtät? (Da die
> Umkehrfunktion nur bei Injektivität definiert ist...)
Wenn f injektiv ist, so ex. die Umkehrfunktion. Also erst "injektiv" zeigen.
FRED
>
> DANKE für die bisherigen Antworten
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Danke für den Tip! Ich gebe hier nun mal mein Niedergeschriebenes zum Besten, in der Hoffnung, dass jemand mit i.O. oder Kritik antwortet!
Seien [mm] a=x_1+x_2+x_3 [/mm] und [mm] b=y_1+y_2+y_3. [/mm]
f ist injektiv [mm] \gdw \forall [/mm] x,y [mm] \, \in \Omega [/mm] gilt: f(x)=f(y) [mm] \Righarrow [/mm] x=y.
[mm] \bruch{x_j}{1+a}=\bruch{y_j}{1+b} [/mm] ,für j=1,2,3
[mm] \Rightarrow \bruch{x_1+x_2+x_3}{1+a}=\bruch{y_1+y_2+y_3}{1+b}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{a}{1+a}=\bruch{b}{1+b}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a(1+b)-b(1+a)=0
[mm] \gdw [/mm] a-b=0
[mm] \Rightarrow [/mm] a=b
[mm] \gdw x_1+x_2+x_3=y_1+y_2+y_3 \Rightarrow [/mm] f ist injektiv
Ist das so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Mo 09.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke für den Tip! Ich gebe hier nun mal mein
> Niedergeschriebenes zum Besten, in der Hoffnung, dass
> jemand mit i.O. oder Kritik antwortet!
>
> Seien [mm]a=x_1+x_2+x_3[/mm] und [mm]b=y_1+y_2+y_3.[/mm]
> f ist injektiv [mm]\gdw \forall[/mm] x,y [mm]\, \in \Omega[/mm] gilt:
> f(x)=f(y) [mm]\Righarrow[/mm] x=y.
>
> [mm]\bruch{x_j}{1+a}=\bruch{y_j}{1+b}[/mm] ,für j=1,2,3
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{x_1+x_2+x_3}{1+a}=\bruch{y_1+y_2+y_3}{1+b}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{a}{1+a}=\bruch{b}{1+b}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] a(1+b)-b(1+a)=0
> [mm]\gdw[/mm] a-b=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] a=b
> [mm]\gdw x_1+x_2+x_3=y_1+y_2+y_3 \Rightarrow[/mm] f ist
> injektiv
>
> Ist das so korrekt?
Es fehlt noch was: aus a=b und $ [mm] \bruch{x_j}{1+a}=\bruch{y_j}{1+b} [/mm] $ für j=1,2,3 folgt: [mm] x_j=y_j [/mm] für j=1,2,3.
FRED
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Jo, leuchtet ein! Danke!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Mo 09.07.2012 | | Autor: | mattho |
Hallo,
für Punkt 2 kanst du einfach so ansetzen:
-> Ann: f(x)=f(y) und dann zeigen, dass x gleich y ist
(nach kurzer Rechnung ersichtlich)
Bei Punkt 1 bin ich mir auch nicht sicher, meine Vermutung ist aber, dass auf den gesamten Raum abgebildet wird.
MfG
Matthias
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Was meinst du mit Punkt 2? "Bestimme [mm] f(\Omega)"?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Mo 09.07.2012 | | Autor: | mattho |
Das hat sich auf
> 2) Wie zeige ich, dass die Funktion injektiv ist? Ich weiß nicht, wie ich mit >dem Merhdimensionalen umgehen soll!
bezogen.
MfG
Matthias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Mo 09.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> für Punkt 2 kanst du einfach so ansetzen:
>
> -> Ann: f(x)=f(y) und dann zeigen, dass x gleich y ist
> (nach kurzer Rechnung ersichtlich)
so, .so......
>
> oder:
>
> ->Zeige, dass der Kern dieser Abbildung nur den Vektor
> (0,0,0) enthält,
> also f^(-1)(0,0,0)={(0,0,0)}, dies ist sofort
> ersichtlich.
Das ist doch Quatsch !! Die Abbildung ist meilenweit von Linearität entfernt !
FRED
>
> Bei Punkt 1 bin ich mir auch nicht sicher, meine Vermutung
> ist aber, dass auf den gesamten Raum abgebildet wird.
>
> MfG
> Matthias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Mo 09.07.2012 | | Autor: | mattho |
Ja, natürlich, schon entfernt, danke.
MFG
Matthias
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