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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Fr 19.05.2017 | | Autor: | studiseb |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\ID\to\IC, f(z)=z+\bruch{1}{3}*e^z. [/mm]
Zeige, dass f injektiv ist. |
Moin zusammen, wollte nur mal wissen ob ich hier den richtigen Ansatz gewäht habe, oder ob ich auf dem Holzweg bin. Vielen Dank!
Seien [mm] x,y\in\ID [/mm] und f(x)=f(y). Annahme [mm] x\not=y. [/mm]
OBdA sei x<y [mm] \Rightarrow [/mm] x<y und [mm] \bruch{1}{3}e^x<\bruch{1}{3}e^y, [/mm] da e streng monoton wachsend ist.
[mm] \Rightarrow x+\bruch{1}{3}e^x
Widerspruch zu f(x)=f(y)! Also x=y. Somti folgt die Behauptung und f ist injetktiv.
Kann ich das so machen?
LG
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Hallo,
> Sei [mm]f:\ID\to\IC, f(z)=z+\bruch{1}{3}*e^z.[/mm]
> Zeige, dass f injektiv ist.
> Moin zusammen, wollte nur mal wissen ob ich hier den
> richtigen Ansatz gewäht habe, oder ob ich auf dem Holzweg
> bin. Vielen Dank!
>
> Seien [mm]x,y\in\ID[/mm] und f(x)=f(y). Annahme [mm]x\not=y.[/mm]
> OBdA sei x<y [mm]\Rightarrow[/mm] x<y und
> [mm]\bruch{1}{3}e^x<\bruch{1}{3}e^y,[/mm] da e streng monoton
> wachsend ist.
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> [mm]\Rightarrow x+\bruch{1}{3}e^x
> f(x)<f(y)
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> Widerspruch zu f(x)=f(y)! Also x=y. Somti folgt die
> Behauptung und f ist injetktiv.
>
> Kann ich das so machen?
Nein. Der Begriff Monotonie sowie die Ordnungs- bzw. Totalordnungsrelation ergeben hier keinen Sinn, da wir uns in [mm] \IC [/mm] befinden!
Man könnte hier geometrisch argumentieren, indem man die Tatsache ausnutzt, dass die komplexe Exponentialfunktion in der komplexen Ebene stets eine Drehstreckung bewirkt.
Sonst wird man es nachrechnen müssen, also die Gleichung
[mm] z_1+\frac{1}{3}e^{z_1}=z_2+\frac{1}{3}e^{z_2}
[/mm]
muss für ungleiche Paare [mm] (z_1,z_2) [/mm] zum Widerspruch gebracht werden. Dazu verwendet man am geschicktesten die Polardarstellung.
Gruß, Diophant
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