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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Do 25.10.2007 | | Autor: | Petite |
| Aufgabe | Es sei [mm] f:X\to [/mm] Y eine Abblildung. Zeigen Sie für die induzierte Mengenabbildung von f die folgenden Aussagen.
a) Für [mm] A\in \mathcal{P}(X) [/mm] gilt [mm] f(X)\f(A)\subseteq f(X\A). [/mm] Zeigen Sie, dass die Inklussion im Allgemeinen echt ist.
b) Ist [mm] U\subseteq [/mm] V [mm] \subseteq [/mm] Y, so ist [mm] f^{-1}(U)\subseteq f^{-1}(V). [/mm] |
Also ich sitz hier mit meiner Seminargruppe schon über zwei Stunden an den Aufgaben und irgendwie kommen wir einfach nicht mehr weiter.
Ich danke für alle Ideen, ihr habt und uns zukommen lasst.
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> Es sei [mm]f:X\to[/mm] Y eine Abblildung. Zeigen Sie für die
> induzierte Mengenabbildung von f die folgenden Aussagen.
> a) Für [mm]A\in \mathcal{P}(X)[/mm] gilt [mm]f(X)\f(A)\subseteq f(X\A).[/mm]
> Zeigen Sie, dass die Inklussion im Allgemeinen echt ist.
> b) Ist [mm]U\subseteq[/mm] V [mm]\subseteq[/mm] Y, so ist [mm]f^{-1}(U)\subseteq f^{-1}(V).[/mm]
>
> Also ich sitz hier mit meiner Seminargruppe schon über zwei
> Stunden an den Aufgaben und irgendwie kommen wir einfach
> nicht mehr weiter.
>
Hallo,
schreib doch erstmal auf, wie diese induzierte Mengenabbildung f definiert ist.
Ohne diese def. läuft ja gar nichts.
Das Prinzip bei Inklusionen ist ja immer gleich.
Man zeigt, daß jedes Element, welches in der einen Menge liegt, auch in der anderen ist.
Der Start wäre also:
Sei [mm] x\in [/mm] f(X)(A).
Dann formt man um und zeigt, daß x auch in f(X) ist.
Aber wie gesagt: ohne die Def. der induzierten Abbildung läuft nichts.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Do 25.10.2007 | | Autor: | Petite |
Leider ist das wirklich alles, was ich gegeben bekommen habe.
Ich glaube eher, wir sollen den Allgemeinen Fall beweisen.
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> Leider ist das wirklich alles, was ich gegeben bekommen
> habe.
> Ich glaube eher, wir sollen den Allgemeinen Fall beweisen.
Hallo,
ja, natürlich ist das allgemein, aber da der Begriff "Induzierte Mengenabbildung " verwendet wird, muß das ja definiert worden sein, z.B. in der Vorlesung.
Wir haben ja eine Abbildung f:X [mm] \to [/mm] Y.
Was verbirgt sich nun hinter der durch f induzierten Mengenabbildung [mm] \overline{f}?
[/mm]
Dies ist eine Abbildung von der Potenzmenge von X in die Potenzmenge von Y,
also [mm] \overline{f}:P(X)\to [/mm] P(Y)
[mm] mit\overline{f}(A):=f(A) [/mm] mit [mm] f(A):=\{f(a)| a\in A\} [/mm] für alle [mm] A\in [/mm] P(A).
(Ich hoffe, daß das nicht zu weit von Eurer Def. abweicht.)
Es liefert [mm] \overline{f} [/mm] also das Bild einer jeden Teilmenge A von X, landläufig schreibt man f(A).
--- Nun erst sehe ich, daß Deine Formel nicht richtig zu lesen ist, der Formeleditor hat Dir einen Streich gespielt, so erklärt sichmir einiges, was vorher nicht klar war, und ich könnte das über die induzierte Abbildung eigentlich wieder löschen. Mach' ich jetzt aber nicht.
Zu zeigen ist nun:
> a) Für $ [mm] A\in \mathcal{P}(X) [/mm] $ gilt $ f(X) \ f(A) [mm] \subseteq [/mm] f(X \ A). $
Wie das prinzieiell geht, hatte ich ja schon gesagt.
Zeigen, daß jedes Element der einen Menge auch in der anderen liegt.
Zu arbeiten ist hier mit der Definition des Bildes.
Sei [mm] A\in [/mm] P(X), d.h. [mm] A\subseteq [/mm] X,
und sei
[mm] y\in [/mm] f(X) \ f(A)
==> [mm] y\in [/mm] f(X) und [mm] y\not\in [/mm] f(A)
==> nun muß man mit den Def. für f(X) und f(A) arbeiten
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Do 25.10.2007 | | Autor: | Petite |
Bei Aufgabe b) haben wir inzwischen etwas raus. Wissen aber nicht, ob man es so machen kann.
geg:
[mm] U\subseteq V\subseteq [/mm] Y
Beweis:
Ich nutze zunächst beliebige Mengen
[mm] f_{1}:U'\to [/mm] U
[mm] f_{2}:V'\to [/mm] V
[mm] g_{1}:U\to U'=f_{1}^{-1}:U\to [/mm] U'
[mm] g_{2}:V\to V'=f_{2}^{-1}: V\to [/mm] V'
da
[mm] U\subseteq V\Rightarrow g(U)\Rightarrow g(V)=f(U)\Rightarrow [/mm] f(V)
Darf ich das so machen? Ich hab ja auch nicht das Y einbezogen. Oder gibt es noch einen Weg über eine Urbildbeziehung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Do 25.10.2007 | | Autor: | Petite |
Bei Aufgabe b) haben wir inzwischen etwas raus. Wissen aber nicht, ob man es so machen kann.
geg:
[mm] U\subseteq V\subseteq [/mm] Y
Beweis:
Ich nutze zunächst beliebige Mengen
[mm] f_{1}:U'\to [/mm] U
[mm] f_{2}:V'\to [/mm] V
[mm] g_{1}:U\to U'=f_{1}^{-1}:U\to [/mm] U'
[mm] g_{2}:V\to V'=f_{2}^{-1}: V\to [/mm] V'
da
[mm] U\subseteq V\Rightarrow g(U)\Rightarrow g(V)=f(U)\subseteq [/mm] f(V)
Darf ich das so machen? Ich hab ja auch nicht das Y einbezogen. Oder gibt es noch einen Weg über eine Urbildbeziehung?
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> Bei Aufgabe b) haben wir inzwischen etwas raus. Wissen aber
> nicht, ob man es so machen kann.
>>> b) Ist $ [mm] U\subseteq [/mm] $ V $ [mm] \subseteq [/mm] $ Y, so ist $ [mm] f^{-1}(U)\subseteq f^{-1}(V). [/mm] $
>
> geg:
> [mm]U\subseteq V\subseteq[/mm] Y
>
> Beweis:
> Ich nutze zunächst beliebige Mengen
> [mm]f_{1}:U'\to[/mm] U
> [mm]f_{2}:V'\to[/mm] V
>
> [mm]g_{1}:U\to U'=f_{1}^{-1}:U\to[/mm] U'
> [mm]g_{2}:V\to V'=f_{2}^{-1}: V\to[/mm] V'
>
> da
> [mm]U\subseteq V\Rightarrow g(U)\Rightarrow g(V)=f(U)\subseteq[/mm]
> f(V)
>
> Darf ich das so machen? Ich hab ja auch nicht das Y
> einbezogen.
Hallo,
ich folge dem nur extrem schlecht. Zum einen ist es natürlich eine umständliche Sache, noch lauter Hilsfunktionen einzuführen, zu anderen enthält [mm] U\subseteq V\Rightarrow [/mm] g(U) keinerlei Aussage. "Folgt g(U)". Was ist mit g(U)???
> Oder gibt es noch einen Weg über eine
> Urbildbeziehung?
Das wäre der richtige Weg.
Wieder muß man zeigen, daß jedes Element von [mm] f^{-1}(U) [/mm] auch in [mm] f^{-1}(V). [/mm] liegt.
Sei also
[mm] x\in f^{-1}(U)
[/mm]
==> Es gibt ein y [mm] \in [/mm] ... mit... (Arbeit mit der Def. des Urbildes)
Gruß v. Angela
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