Inklusionen Bild und Kern < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien K ein Körper, V ein Vektorraum über K und A,B [mm] \in End_{K}(V). [/mm] Zeigen Sie die folgenden Aussagen und geben Sie jeweils ein Beispiel an, wo die Inklusion echt ist, also keine Gleichheit gilt.
(a) Im(A+B) [mm] \subset [/mm] Im(A) + Im(B)
(b) Ker(A) [mm] \cap [/mm] Ker(B) [mm] \subset [/mm] Ker(A+B)
(c) Im(A [mm] \circ [/mm] B) [mm] \subset [/mm] Im(A)
(d) Ker(B) [mm] \subset [/mm] Ker(A [mm] \circ [/mm] B).
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Ansätze:
zu (a): Da A,B [mm] \in End_{K}(V), [/mm] gilt F(A + B) = F(A) + F(B). Somit folgt daraus, dass Im(A+B) = Im(A) + Im(B).
zu (b): Sei x [mm] \in [/mm] Ker(A) [mm] \cap [/mm] Ker(B) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] Ker(A) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] Ker(B) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] Ker(A+0*B) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] Ker(0*A+B) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in Ker(\lambda*A+\lambda^{-1}*B), [/mm] mit [mm] \lambda \in \IR\backslash\{0,1\}.
[/mm]
bei (c) und (d) komme ich nicht wirklich weiter. über eine kleine starthilfe wäre ich sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien K ein Körper, V ein Vektorraum über K und A,B [mm]\in End_{K}(V).[/mm]
> Zeigen Sie die folgenden Aussagen und geben Sie jeweils ein
> Beispiel an, wo die Inklusion echt ist, also keine
> Gleichheit gilt.
>
> (a) Im(A+B) [mm]\subset[/mm] Im(A) + Im(B)
>
> (b) Ker(A) [mm]\cap[/mm] Ker(B) [mm]\subset[/mm] Ker(A+B)
>
> (c) Im(A [mm]\circ[/mm] B) [mm]\subset[/mm] Im(A)
>
> (d) Ker(B) [mm]\subset[/mm] Ker(A [mm]\circ[/mm] B).
>
> Ansätze:
>
> zu (a): Da A,B [mm]\in End_{K}(V),[/mm] gilt F(A + B) = F(A) + F(B).
Hallo,
was soll denn F sein, und was hat es mit der Aufgabe zu tun.
Es geht hier doch um mengen, nämlich um das Bild gewisser Abbildungen.
Du mußt zeigen:
[mm] y\in [/mm] Bild(A+B) ==> [mm] y\in [/mm] Bild(A) + Bild(B)
und
[mm] y\in [/mm] Bild(A) + Bild(B) ==> [mm] y\in [/mm] Bild(A+B)
Was bedeutet es denn, wenn y im Bild von A+B ist?
> Somit folgt daraus, dass Im(A+B) = Im(A) + Im(B).
>
> zu (b): Sei x [mm]\in[/mm] Ker(A) [mm]\cap[/mm] Ker(B) [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] Ker(A)
> [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] Ker(B) [mm]\gdw[/mm]
Ab hier wird's dann ein bißchen abenteuerlich.
Arbeite mit den Definitionen.
Bei "==>" soll doch am Ende herauskommen, daß [mm] x\in [/mm] A + B (und daß f(x)=0) ist.
Gruß v. Angela
x [mm]\in[/mm] Ker(A+0*B) [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm]
> Ker(0*A+B) [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in Ker(\lambda*A+\lambda^{-1}*B),[/mm] mit
> [mm]\lambda \in \IR\backslash\{0,1\}.[/mm]
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> bei (c) und (d) komme ich nicht wirklich weiter. über eine
> kleine starthilfe wäre ich sehr dankbar!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> was soll denn F sein, und was hat es mit der Aufgabe zu
> tun.
F(A+B) = F(A) + F(B) ist ein Teil der Definition linearer Abbildungen, d.h. F soll eine lineare Abbildung sein.
> Es geht hier doch um mengen, nämlich um das Bild gewisser
> Abbildungen.
>
> Du mußt zeigen:
>
> [mm]y\in[/mm] Bild(A+B) ==> [mm]y\in[/mm] Bild(A) + Bild(B)
>
> und
>
> [mm]y\in[/mm] Bild(A) + Bild(B) ==> [mm]y\in[/mm] Bild(A+B)
>
> Was bedeutet es denn, wenn y im Bild von A+B ist?
Ok, hatte mir schon sowas gedacht. War nur ein Ansatz auf den wir in einer Lerngruppe gekommen sind. Danke!
>
> > Somit folgt daraus, dass Im(A+B) = Im(A) + Im(B).
> >
> > zu (b): Sei x [mm]\in[/mm] Ker(A) [mm]\cap[/mm] Ker(B) [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] Ker(A)
> > [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] Ker(B) [mm]\gdw[/mm]
>
> Ab hier wird's dann ein bißchen abenteuerlich.
>
> Arbeite mit den Definitionen.
Also der Anfang von der (b) ist so in Ordnung? Hab mit dem Kern noch einige Schwierigkeiten (wie ich am besten mit der Definition in solchen Aufgaben umgehen soll)....
> Bei "==>" soll doch am Ende herauskommen, daß [mm]x\in[/mm] A + B
> (und daß f(x)=0) ist.
>
> Gruß v. Angela
>
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> > > zu (b): Sei x [mm]\in[/mm] Ker(A) [mm]\cap[/mm] Ker(B) [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] Ker(A)
> > > [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] Ker(B) [mm]\gdw[/mm]
> >
> > Ab hier wird's dann ein bißchen abenteuerlich.
> >
> > Arbeite mit den Definitionen.
>
> Also der Anfang von der (b) ist so in Ordnung?
>
> > Bei "==>" soll doch am Ende herauskommen, daß [mm]x\in[/mm] A + B
> > (und daß f(x)=0) ist.
Hallo,
Rückfragen zu Antworten stell' als Frage ein, dann werden sie schnell von allen als solche wahrgenommen - Du vergrößerst den Pool derer, die auf Dein Problem aufmerksam werden und Dir ggf. weiterhelfen.
Ja, der Anfang ist in Ordnung und auch extrem naheliegend. Du arbeitest dort mit der Definition der Schnittmenge.
> Hab mit dem
> Kern noch einige Schwierigkeiten (wie ich am besten mit der
> Definition in solchen Aufgaben umgehen soll)....
Dazu mußt Du erstmal wissen, wie der Kern definiert ist. Wie?
In Deiner Aufgabe sind n.V. A,B, A+B lineare Abbildungen.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
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> Rückfragen zu Antworten stell' als Frage ein, dann werden
> sie schnell von allen als solche wahrgenommen - Du
> vergrößerst den Pool derer, die auf Dein Problem aufmerksam
> werden und Dir ggf. weiterhelfen.
ja, ich weiß... verklickt ;)
>
> Ja, der Anfang ist in Ordnung und auch extrem naheliegend.
> Du arbeitest dort mit der Definition der Schnittmenge.
>
> > Hab mit dem
> > Kern noch einige Schwierigkeiten (wie ich am besten mit der
> > Definition in solchen Aufgaben umgehen soll)....
>
> Dazu mußt Du erstmal wissen, wie der Kern definiert ist.
> Wie?
> In Deiner Aufgabe sind n.V. A,B, A+B lineare Abbildungen.
Die allgemeine Definition vom Kern ist:
Wenn F: V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung ist, dann gilt für den Kern von F
Ker(F) = {v [mm] \in [/mm] V | f(v)=0 [mm] \in [/mm] W}
Also Ker(F) ist nur die Menge der Abbildungen die auf 0 abgebildet werden.
also zu (b):
x [mm] \in [/mm] Ker(A) [mm] \cap [/mm] Ker(B) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Ker(A) [mm] \wedge [/mm] Ker(B) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (Ker(A) [mm] \cup [/mm] Ker(B)) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (Ker(A) + Ker(B)) [mm] \Rightarrow [/mm] (aus der Definition linearer Abbildungen gilt) x [mm] \in [/mm] Ker(A+B)
Wenn ja x [mm] \in [/mm] Ker(A) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] Ker(B), dann liegt x ja auch logischerweise in der Vereinigung von Ker(A) und Ker(B) (Schnitt ist ja Teilmenge der Vereinigung, die Umkehrung muss aber nicht gelten).
Ich hoffe, dass ich es so einigermaßen richtig verstanden habe. Dann wars nämlich garnicht so schwer :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Do 04.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > Rückfragen zu Antworten stell' als Frage ein, dann werden
> > sie schnell von allen als solche wahrgenommen - Du
> > vergrößerst den Pool derer, die auf Dein Problem aufmerksam
> > werden und Dir ggf. weiterhelfen.
>
> ja, ich weiß... verklickt ;)
>
> >
> > Ja, der Anfang ist in Ordnung und auch extrem naheliegend.
> > Du arbeitest dort mit der Definition der Schnittmenge.
> >
> > > Hab mit dem
> > > Kern noch einige Schwierigkeiten (wie ich am besten mit der
> > > Definition in solchen Aufgaben umgehen soll)....
> >
> > Dazu mußt Du erstmal wissen, wie der Kern definiert ist.
> > Wie?
>
> > In Deiner Aufgabe sind n.V. A,B, A+B lineare Abbildungen.
>
> Die allgemeine Definition vom Kern ist:
> Wenn F: V [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
W eine lineare Abbildung ist, dann gilt für
> den Kern von F
> Ker(F) = {v [mm]\in[/mm] V | f(v)=0 [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
W}
>
> Also Ker(F) ist nur die Menge der Abbildungen die auf 0
> abgebildet werden.
Nicht "Menge der Abbildungen" sondern "Menge der El. aus V"
>
> also zu (b):
>
> x [mm]\in[/mm] Ker(A) [mm]\cap[/mm] Ker(B) [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] Ker(A) [mm]\wedge[/mm]
> Ker(B) [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (Ker(A) [mm]\cup[/mm] Ker(B)) [mm]\Rightarrow[/mm] x
> [mm]\in[/mm] (Ker(A) + Ker(B)) [mm]\Rightarrow[/mm] (aus der Definition
> linearer Abbildungen gilt) x [mm]\in[/mm] Ker(A+B)
>
> Wenn ja x [mm]\in[/mm] Ker(A) [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] Ker(B), dann liegt x ja
> auch logischerweise in der Vereinigung von Ker(A) und
> Ker(B) (Schnitt ist ja Teilmenge der Vereinigung, die
> Umkehrung muss aber nicht gelten).
>
> Ich hoffe, dass ich es so einigermaßen richtig verstanden
So ganz glaube ich das nicht.
Sei x [mm]\in[/mm] Ker(A) [mm]\cap[/mm] Ker(B). Dann ist Ax = 0 =Bx, also auch (A+B)x = 0 und somit x [mm] \in [/mm] Kern(A+B)
FRED
> habe. Dann wars nämlich garnicht so schwer :)
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