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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Do 21.02.2008 | | Autor: | Karlchen |
| Aufgabe | Ein Inkreispunkt des Tangentvierecks hat die Koordinaten [mm] O_{k}(x/0,75).
[/mm]
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinate x und den Radius des Inkreises. |
Tach zusamm!^^
also da diese aufgabe nur eine teilaufgabe ist, werde ich vorher nochmal ein paar Punkte usw. angeben.
S'AS''B ist ein Tangentenviereck mit:
A(-3/-1,5)
B(3/1,5)
S'(1,5/3)
S''(3,3/-0,6)
Die Spiegelgerade y=0,5x ist eine Ursprungsgerade
so, nun zum ersten Teil den Mittelpunkt: [mm] O_{k} \varepsilon [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] 0,75=0,5x
x=1,5
[mm] O_{k}(1,5/0,75)
[/mm]
Jetzt kommt das Problem. Wie berechne ich denn den Radius?
Also ich weiß, dass es dafür ne Formel gibt, aber dafür benötige ich ja Punkte. Einer davon wäre dann bestimmt der mittelpunkt, aber wie bekomme ich die anderen? Oder bin ich ganz aufm falschen dampfer?
Gruß Karlchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Do 21.02.2008 | | Autor: | weduwe |
wie wäre es denn, wenn du die komplette aufgabe schicktest!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Do 21.02.2008 | | Autor: | weduwe |
du weißt:
1) M hat die koordinaten [mm]M(m/\frac{m}{2})[/mm]
2) [mm] O_k [/mm] liegt auf K.
daher (I) [mm](1.5-m)²+(0.75-0.5m)²=r²[/mm]
3) die gerade durch A und B ist tangente, daher hat M den abstand r von ihr.
daraus bekommst du mit hilfe der HNF
(II) [mm]0.5m+1.5=\pm r\sqrt{2}[/mm]
aus (I) und (II) kannst du m und r berechnen.
zur kontrolle
[mm]m=2-\sqrt{2.5}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Do 21.02.2008 | | Autor: | Karlchen |
Hallo und danke schon mal^^
> du weißt:
> 1) M hat die koordinaten [mm]M(m/\frac{m}{2})[/mm]
> 2) [mm]O_k[/mm] liegt auf K.
> daher (I) [mm](1.5-m)²+(0.75-0.5m)²=r²[/mm]
also bis hier hin komm ich noch mit
> 3) die gerade durch A und B ist tangente, daher hat M den
> abstand r von ihr.
jez bin ich nen bissel verwirrt, denn M liegt doch auf der Tangenten, oder hab ich da was nur falsch verstanden?
> daraus bekommst du mit hilfe der HNF
>
> (II) [mm]0.5m+1.5=\pm r\sqrt{2}[/mm]
>
> aus (I) und (II) kannst du m und r berechnen.
>
> zur kontrolle
> [mm]m=2-\sqrt{2.5}[/mm]
diesen letzten schritt verstehe ich im moment noch gar nicht, aber vielleicht klärt sich das ja, wennich weiß, was es mit M und der tangente auf sich hat.
achso, die ganze aufgabe hier rein zu stellen halte ich für nicht sehr sinnvoll, da sie sehr umfangreich ist. Deswegen habe ich nur das angegeben, weil die anderen sachen haben mit der aufgabe an sich nicht viel zu tun. Aber, wenn trotzdem die gesamte aufgabe geünscht ist, kann ich die natürlich noch posten.
liebe Grüße
Karlchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Do 21.02.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo und danke schon mal^^
>
> > du weißt:
> > 1) M hat die koordinaten [mm]M(m/\frac{m}{2})[/mm]
> > 2) [mm]O_k[/mm] liegt auf K.
> > daher (I) [mm](1.5-m)²+(0.75-0.5m)²=r²[/mm]
>
> also bis hier hin komm ich noch mit
>
> > 3) die gerade durch A und B ist tangente, daher hat M den
> > abstand r von ihr.
>
> jez bin ich nen bissel verwirrt, denn M liegt doch auf der
> Tangenten, oder hab ich da was nur falsch verstanden?
>
> > daraus bekommst du mit hilfe der HNF
> >
> > (II) [mm]0.5m+1.5=\pm r\sqrt{2}[/mm]
> >
> > aus (I) und (II) kannst du m und r berechnen.
> >
> > zur kontrolle
> > [mm]m=2-\sqrt{2.5}[/mm]
>
> diesen letzten schritt verstehe ich im moment noch gar
> nicht, aber vielleicht klärt sich das ja, wennich weiß, was
> es mit M und der tangente auf sich hat.
>
> achso, die ganze aufgabe hier rein zu stellen halte ich für
> nicht sehr sinnvoll, da sie sehr umfangreich ist. Deswegen
> habe ich nur das angegeben, weil die anderen sachen haben
> mit der aufgabe an sich nicht viel zu tun. Aber, wenn
> trotzdem die gesamte aufgabe geünscht ist, kann ich die
> natürlich noch posten.
>
> liebe Grüße
> Karlchen
>
wie kommst du auf die verwegene idee, dass der mittelpunkt des
(in)kreises auf einer seite liegen könnte?
der liegt doch auf der symmetrieachse des tangentenviereckes und hat von jeder seite also auch von [mm] \overline{AB} [/mm] den abstand des radius also r.
also stelle die gerade durch A und B auf, bringe sie in die HNF (wir sind ja in R2), setze die koordinaten des mittelpunktes ein, dann hast du den abstand [mm]d(M,g) = r[/mm]
oder kennst du die HNF einer geraden nicht, dann mußt du mit dem lot arbeiten
nun besser?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:34 Do 21.02.2008 | | Autor: | Karlchen |
> wie kommst du auf die verwegene idee, dass der mittelpunkt
> des
> (in)kreises auf einer seite liegen könnte?
> der liegt doch auf der symmetrieachse des
> tangentenviereckes
ja genau. die symmetrieachse ist die Strecke [mm] \overline{AB}
[/mm]
deswegen war ich nen bissel verwirrt^^
also dann muss ich doch entweder [mm] \overline{AS'} [/mm] oder [mm] \overline{AS''} [/mm] als Gerade bzw. Tangente bestimmen, oder?
[mm] g:\overrightarrow{x}= \vektor{-3 \\ -1,5} [/mm] + [mm] t\vektor{1,5 \\ 3}
[/mm]
[mm] x_{1}= [/mm] -3 + 1,5t *(-2)
[mm] x_{2}= [/mm] -1,5 + 3t
[mm] -2x_{1}+x_{2}=4,5
[/mm]
Umwandeln in die HNF:
[mm] \bruch{-2x_{1}+x_{2}-4,5}{\wurzel{5}}=0
[/mm]
Einsetzen von [mm] O_{k}: d=\vmat{\bruch{-2*1,5+0,75-4,5}{\wurzel{5}}}=\bruch{6,75}{\wurzel{5}}
[/mm]
[mm] \approx [/mm] 3
das könnt aba höchstens der durchmesser sein. damit das mit dem radius hinkommt, müsste ich noch ma durch 2 teilen...oder habe ich da was falsch gemacht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:26 Fr 22.02.2008 | | Autor: | weduwe |
> > wie kommst du auf die verwegene idee, dass der mittelpunkt
> > des
> > (in)kreises auf einer seite liegen könnte?
> > der liegt doch auf der symmetrieachse des
> > tangentenviereckes
>
> ja genau. die symmetrieachse ist die Strecke [mm]\overline{AB}[/mm]
> deswegen war ich nen bissel verwirrt^^
>
> also dann muss ich doch entweder [mm]\overline{AS'}[/mm] oder
> [mm]\overline{AS''}[/mm] als Gerade bzw. Tangente bestimmen, oder?
>
> [mm]g:\overrightarrow{x}= \vektor{-3 \\ -1,5}[/mm] + [mm]t\vektor{1,5 \\ 3}[/mm]
>
> [mm]x_{1}=[/mm] -3 + 1,5t *(-2)
> [mm]x_{2}=[/mm] -1,5 + 3t
>
> [mm]-2x_{1}+x_{2}=4,5[/mm]
>
> Umwandeln in die HNF:
>
> [mm]\bruch{-2x_{1}+x_{2}-4,5}{\wurzel{5}}=0[/mm]
>
> Einsetzen von [mm]O_{k}: d=\vmat{\bruch{-2*1,5+0,75-4,5}{\wurzel{5}}}=\bruch{6,75}{\wurzel{5}}[/mm]
>
> [mm]\approx[/mm] 3
>
> das könnt aba höchstens der durchmesser sein. damit das mit
> dem radius hinkommt, müsste ich noch ma durch 2
> teilen...oder habe ich da was falsch gemacht?
>
>
ja natürlich, mit diesen blöden bezeichnern,
ich meinte natürlich die gerade durch A und S´´ - wieso heißen denn die nicht A, B, C und D?
kreisgleichung: (1)[mm]1.25m²-3.75m+2.8125=r²[/mm]
gerade durch A und S´´: [mm]y=\frac{-0.6+1.5}{3.3+3}(x+3)-1.5\to x-7y-7.5=0[/mm]
daraus die HNF: [mm] \frac{x-7y-7.5}{\sqrt{50}}=0 [/mm] M eingesetzt ergibt
(2) [mm] m-3.5m-7.5=\pm5\sqrt{2}r
[/mm]
(2) quadriert und von 2(1) subtrahiert, führt auf
[mm]m²-4m+1.5=0\to m_{1,2}=2\pm\sqrt{2.5} [/mm]
und damit [mm]m=2 -\sqrt{2.5}[/mm] und [mm]r=|\overrightarrow{MO}_k|[/mm]
der zweite kreis liegt außerhalb des vierecks und geht ebenfalls durch [mm] O_k [/mm] und berührt die trägergerade von [mm] \overline{AS}´´. [/mm]
ich hoffe, jetzt habe ich überall die richtigen bezeichner erwischt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Do 21.02.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo Karlchen,
vorab etwas Grundsätzliches zur Erinnerung: Der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks (und auch eines Sehnenvierecks) ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Dann sollte man über die Winkelhalbierende eines Dreiecks noch wissen, dass sie die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten schneidet.
Beispiel: Ein Dreieck hat die Seitenlängen 12, 9 und 4,5. Die Winkelhalbirende zwischen den Seiten mit den Längen 9 und 4,5 teilt die gegenüberliegende Seite (Länge 12) im Verhältnis 9:4,5=2:1, also in 8 und 4 Einheiten.
Du kannst also dein Tangentenviereck mit einer Diagonalen in zwei Teildreiecke zerlegen und den Verlauf der Halbierenden der gegenüberliegenden Winkel (mit dem Ausgangspunkt der Winkelhalbierenden und dem entsprechenden Teilpunkt auf der Diagonalen) bestimmen.
Viele Grüße
Abakus
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