Innenwinkel eines Dreiecks < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Innenwinkel des Dreiecks ABC mit A(1;1;1), B(0;0;0), C(-2;-2;5)! |
Hallo.
Ich habe mich an dieser Aufgabe versucht und möchte nun wissen, ob ich sie richtig gelöst habe.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank schonmal und viele Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Dankeschön! :)
Eine kleine Frage hab ich noch: Was genau bewirken die Betragsstriche? Meine Vermutung: Sie sagen aus, dass der Wert immer [mm] \ge [/mm] 0 sein muss, richtig?
Viele Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
fast, nein sie sagen aus, dass der Winkel nicht über 180° hinausschießt, denn dann hättest du einen Außenwinkel.
Alles klar?
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:24 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Mathe-Andi |
Ach, das war das mit den Außen- und Innenwinkeln. Dann ist alles klar! :)
Vielen Dank für deine Hilfe!
Grüße
Andreas
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 01:04 Sa 03.03.2007 | | Autor: | heyks |
>
> allerdings könnte das bei den anderen Winkeln zu Problemen
> führen, so dass folgende Formel für die Innenwinkel zählt
> (beachte die Betragsstriche)
>
>
>
> [mm]cos(\alpha)=\left|\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}\right|[/mm]
Hallo herby,
wieso denn das ?
Falls ein Innenwinkel [mm] \alpha [/mm] im Dreieck größer als [mm] \Pi/2 [/mm] ist, ist [mm] arccos(\left|\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}\right|) <\alpha [/mm] .
[mm] \forall \alpha \in [0,\Pi] [/mm] gilt [mm] \arccos (\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] mit [mm] \cos(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}.
[/mm]
MfG
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:15 Sa 03.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Andy,
es gilt :
[mm]cos(\alpha)=\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}[/mm],
nicht
[mm]cos(\alpha)=\left|\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}\right|[/mm],
also so wie Du es gelöst hast.
MfG
heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Sa 03.03.2007 | | Autor: | informix |
Hallo heyks,
> Hallo Andy,
>
> es gilt :
>
>
> [mm]cos(\alpha)=\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}[/mm],
>
>
> nicht
>
>
>
> [mm]cos(\alpha)=\left|\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}\right|[/mm],
>
> also so wie Du es gelöst hast.
>
wenn [mm] $\vec [/mm] a$ und [mm] $\vec [/mm] b$ am selben Punkt starten, hast du recht.
Allerdings machen Schüler oft den Fehler, den Winkel zwischen [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] zu berechnen und wundern sich dann, dass die Winkelsumme nicht mehr 180° ist, weil sie eben den Außenwinkel des Dreiecks berechnet haben.
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Sa 03.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo,
möchte man eindeutige Definitionen für den Winkel zwischen Vektoren , muß man entweder
[mm] \phi [/mm] := [mm] min(\alpha, 2\pi-\alpha) [/mm] oder [mm] \phi [/mm] := [mm] max(\alpha, 2\pi-\alpha) [/mm] definieren, wobei [mm] \alpha [/mm] wahlweise einen der beiden möglichen Winkel zwischen den Vektoren bezeichnet.
Will man nicht auf die Anschauung zurückgehen ,muß erst einmal definiert werden was "an einem Punkt starten", "Innenwinkel", "Aussenwinkel" heißt.
LG
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 So 04.03.2007 | | Autor: | informix |
Hallo heyks,
> Hallo,
>
> möchte man eindeutige Definitionen für den Winkel zwischen
> Vektoren , muß man entweder
> [mm]\phi[/mm] := [mm]min(\alpha, 2\pi-\alpha)[/mm] oder [mm]\phi[/mm] := [mm]max(\alpha, 2\pi-\alpha)[/mm]
> definieren, wobei [mm]\alpha[/mm] wahlweise einen der beiden
> möglichen Winkel zwischen den Vektoren bezeichnet.
>
> Will man nicht auf die Anschauung zurückgehen ,muß erst
> einmal definiert werden was "an einem Punkt starten",
> "Innenwinkel", "Aussenwinkel" heißt.
>
Diese Aufgabe geht aber doch auf die Winkel in einem Dreieck ein, da hat man eindeutig "Anfangspunkte".
So abstrakt arbeitet man auf der Uni, nicht aber i.a. in der Schule. Die Frage kam aber von einem Schüler.
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Heiko,
deine Argumentation ist durchaus korrekt und ich schrieb ja auch im ersten Post, dass die Formel:
[mm] cos(\alpha)=\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|} [/mm] für die Winkelbestimmung richtig ist.
Rechne ich stumpfsinnig weiter und wende das an was ich gelernt habe, weil mir nie einer verraten hat, was sich z.B. hinter einem Skalarprodukt verbirgt, dann gelange ich bei [mm] \beta [/mm] zu 95,77° --- einem durchaus vernünftigen Ergebnis -- ist es aber nicht, denn die Gesamtwinkelsumme würde somit 197,77° entsprechen und das ist nicht im Sinne des Erfinders.
Es ging hier einzig um die Innenwinkel und nicht um beliebige Winkel zwischen Halbgeraden, von daher sind die Betragsstriche im Anfangstadium doch äußerst sinnvoll, oder?
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Sa 03.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo herby,
>
> Es ging hier einzig um die Innenwinkel und nicht um
> beliebige Winkel zwischen Halbgeraden, von daher sind die
> Betragsstriche im Anfangstadium doch äußerst sinnvoll,
> oder?
Genau so sinnvoll , als wenn man sie einfachheitshalber wegläßt, der "richtige Innenwinkel ist nur der Anschauung nach bestimmbar.
LG
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:14 So 04.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn ich mich auch mal in die Diskussion einschalten darf:
die [mm] cos\alpha [/mm] Formel steht u.a. auch in Formelsammlungen, die den Schnittwinkel zweier Geraden darstellen soll etc.
Auch dort steht sie mit dem Betrag, allerdings beschränken sich dort die Betragsstriche auf das Skalarprodukt.
Auch hier sorgen sie dafür, dass man immer automatisch den Winkel kleiner 180° herausbekommt.
So halte ich die Variante für sinnvoll, in der man die Betragsstriche dann so setzt:
[mm] cos\alpha=\bruch{|\vec{a}*\vec{b}|}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}
[/mm]
Zum Thema der Ansschauung: Nach einer Skizze oder sonst etwas zu beurteilen versuche ich nach Möglichkeit zu vermeiden
Sláin,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 So 04.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo kroni,
>
> wenn ich mich auch mal in die Diskussion einschalten darf:
>
> die [mm]cos\alpha[/mm] Formel steht u.a. auch in Formelsammlungen,
> die den Schnittwinkel zweier Geraden darstellen soll etc.
>
> Auch dort steht sie mit dem Betrag, allerdings beschränken
> sich dort die Betragsstriche auf das Skalarprodukt.
> Auch hier sorgen sie dafür, dass man immer automatisch den
> Winkel kleiner 180° herausbekommt.
Es kommt sogar immer ein Winkel [mm] \le \pi/2 [/mm] heraus !
>
> So halte ich die Variante für sinnvoll, in der man die
> Betragsstriche dann so setzt:
>
> [mm]cos\alpha=\bruch{|\vec{a}*\vec{b}|}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}[/mm]
Das ist nichts Neues, denn:
[mm]cos\alpha=\bruch{|\vec{a}*\vec{b}|}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}[/mm] [mm] =|\bruch {\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}|
[/mm]
LG
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:55 So 04.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Mist, ist schon spät*g*
Sicher...der Betrag ist ja immer positiv.
Trotzdem teile ich dort die Position, MIT Betragsstrichen zu rechnen, zumindest wenn man dann über Schnittwinkel rechnet.
Ansonsten kann man dann bzw. man sollte die Probe auf 180° machen.
Nun gut, möge jeder für sich einen Weg finden.
Slaín,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Herby |
Hi,
zur Kontrolle könntst du dann verwenden, dass die Summe der Innenwinkel gleich 180° beträgt.
lg
Herby
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
