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| Aufgabe | Beweis der Ungleichung von Caucky,Schwarz
<x,y$>^2$ [mm] $\le$ [/mm] <x,x> <y,y> |
Wenn y =0 ist mir klar, dass 0 [mm] $\le [/mm] $ 0
Wenn y [mm] $\not=$ [/mm] 0
Aber wie kommt man jetzt zu dem?
0 [mm] $\le$ [/mm] <x - [mm] $\lambda \cdot$ [/mm] y, [mm] x-$\lambda \cdot$ [/mm] y>
dass es größergleich 0 ist ist mir klar. Das geht aus [mm] $=x^2 [/mm] + [mm] x^2 \ge [/mm] 0$
wie kommt man zu [mm] $\lambda$ [/mm] ? undüberhauptm was hat das mit unserer Ungleichung zu tun?
(Nächsten Schritte sind mir auch nicht klar - da ich den ersten schritt gar nicht verstehe.)
Habe die Frage in keinerlei anderen Forums gepostet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
[mm] $\langle x,y\rangle$ [/mm] ist die Projektion von x auf y (skaliert mit der Länge von y)
Sagen wir mal OBdA, daß y die Länge 1 hat (teil einfach die volle Ungleichung durch [mm] $\| y\|^2$)
[/mm]
d.h. aus
[mm] $\langle [/mm] x,y [mm] \rangle^2 \le \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle$
[/mm]
wird
[mm] $\langle [/mm] x,y [mm] \rangle^2 \le \langle x,x\rangle$
[/mm]
Das erzählt mir, daß die Projektion von x auf y nicht länger sein kann als x selbst.
Wie beweisen wir das?
Als erstes überlegen wir uns, was die Projektion von x auf y überhaupt ist:
Die Projektion von x auf y ist [mm] $\lambda [/mm] y$, wobei [mm] $\lambda$ [/mm] so gewählt wird, daß der Abstand zwischen x und seiner Projektion minimal wird:
[mm] $\| [/mm] x [mm] -\lambda y\|^2 \overset{!}{=} \text{min}$.
[/mm]
ciao
Stefan
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Projektion?
Dass <x,y> ist doch dass innere Produkt := x1 * y1 + x2 * y2
Bin jetzt nicht wirklich weitergekommen, bzw. bin noch vieeeel verwirrter.
Wir haben erst mit dem inneren Produkt begonnen und die vier Eigenschaften augeschrieben, unteranderen die Ungleichung bewiesen (was ich nicht verstehe). Die Norm haben wir erst später gemacht, also glaub ich nicht - dass ich sie hier anwenden muss
übrigens bei jeden x,y ist ein vektorstrich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Blech |
> Dass <x,y> ist doch dass innere Produkt
Das euklidische Skalarprodukt ist die Länge des einen Vektors multipliziert mit der Länge der Projektion des zweiten auf den ersten. So führt man das eigentlich in der Schule ein. (siehe wikipedia)
Das ist auch die anschauliche Idee hinter dem Beweis. Wenn Du ihn puristisch nur aus den 4 Eigenschaften der Definition haben willst, dann brauchst Du das alles nicht. Wie Du auf den Ansatz oder das [mm] $\lambda$ [/mm] kommst ist unerheblich; Du mußt nur zur Kenntnis nehmen, daß jeder Schritt korrekt ist. Die Wahl des [mm] $\lambda$ [/mm] ist in diesem Fall schlicht "geeignet".
ciao
Stefan
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Versteh mich nicht falsch - ich möchte es schon verstehen und nicht stur auswendig lernen. Ich meinte nur, dass wir es noch nicht so gelernt haben.
>Die Projektion von x auf y ist [mm] $\lambda$ [/mm] * y
Versteh ich!
>$ [mm] \| [/mm] x [mm] -\lambda y\|^2 \overset{!}{=} \text{min} [/mm] $
Aber iiwe ich jetzt auf das komme versteh ich nicht. Wieso minus?
> [mm] $\lambda$ [/mm] so gewählt wird, daß der Abstand zwischen x und seiner Projektion minimal wird
warum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Mi 26.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das [mm] \lambda [/mm] kann man doch erst mal irgendwie annehmen als beliebige reelle Zahl, versteh es als Trick.
Welche folgenden Schritte verstehst du dann nicht?
Schreib doch euren beweis mal Schritt für schritt auf und sag, wo es aushakt, wenn du einfach mal annimmst dass die einführung von [mm] \lambda*y [/mm] ja nicht falsch ist. (solange ihr die anschauliche Definition von <x,y> nicht kennt ist das [mm] \lambda [/mm] eben ein Trick.
Gruss leduart
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0 [mm] $\le$ [/mm] x - [mm] $\lambda \cdot$ [/mm] y ,x - [mm] $\lambda \cdot$ [/mm] y>
Wie schon gesagt, wie man auf das kommt weiß ich nicht.
=
<x,x> - 2 [mm] $\lambda \cdot$ [/mm] <x,y> + [mm] $\lambda^2$ [/mm] <y,y>
hier wurde das innere Produkt quadriert.
Wie man genau auf das kommt weiß ich aber auch nicht, also wie das Quadrieren eines Produktes abläuft.
dann setzen Sie : [mm] $\lambda$ [/mm] := [mm] $\frac [/mm] {<x,y> }{ <y,y>}$
<x,x> - 2 [mm] $\frac [/mm] {<x,y> }{ <y,y>}$ <x,y> + [mm] $\frac [/mm] {<x,y>^2 } { <y,y>^2}$ <y,y>
Ist klar
<x,x> - [mm] $\frac {()^2 } [/mm] {<y,y>}$
Hier wurde das Quadrat gekürzt. mit <y,y>
Aber wo ist - 2 [mm] $\frac [/mm] {<x,y> }{ <y,y>}$ <x,y> hin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Mi 26.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> 0 [mm]\le[/mm] x - [mm]\lambda \cdot[/mm] y ,x - [mm]\lambda \cdot[/mm] y>
> Wie schon gesagt, wie man auf das kommt weiß ich nicht.
eben ein Trick, weil die gleichung für alle [mm] \lambda [/mm] >0 ist und man später für [mm] \lambda [/mm] was geschicktes wählen kann!
> =
> <x,x> - 2 [mm]\lambda \cdot[/mm] <x,y> + [mm]\lambda^2[/mm] <y,y>
> hier wurde das innere Produkt quadriert.
> Wie man genau auf das kommt weiß ich aber auch nicht,
> also wie das Quadrieren eines Produktes abläuft.
>
> dann setzen Sie : [mm]\lambda[/mm] := [mm]\frac { }{ }[/mm]
>
> <x,x> <x,x>- 2 [mm]\frac { }{ }[/mm] <x,y> + [mm]\frac {^2 } { ^2}[/mm]
> <y,y>
> Ist klar
>
> <x,x> - [mm]\frac {()^2 } {}[/mm]
> Hier wurde das Quadrat gekürzt. mit <y,y>
> Aber wo ist - 2 [mm]\frac { }{ }[/mm] *<x,y><x,y> hin?
das ist [mm] -2*$\frac {()^2 } [/mm] {<y,y>}$
dazu [mm] 1*$\frac {()^2 } [/mm] {<y,y>}$addiert ergibt
[mm] -$\frac {()^2 } [/mm] {<y,y>}$
-2A+A=-A
Gruss leduart
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ist da jetzt ein PC-fehler drinnen? Ich erkenne nämlich nichts. das ist irgendwie alles voller <x,y>
->
<x,x><x,y><y,y><x,x><x,y><y,y><x,x><y,y><x,y>-2A+A=-A
</x,y></y,y></x,x></y,y></x,y></x,x></y,y></x,y></x,x>
??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
was er sicher meinte, ist daß
[mm] $\frac [/mm] {<x,y> }{ <y,y>} <x,y> = [mm] \frac{\langle x,y\rangle^2}{\langle y, y\rangle}$
[/mm]
Das Forum hat gerade seinen spastischen.
Wenn Du Dir jetzt auch nochmal Deine Rechnung anschaust, dann siehst Du, daß die beiden hinteren Summanden zusammengefaßt wurden.
> >$ [mm] \| [/mm] x [mm] -\lambda y\|^2 \overset{!}{=} \text{min} [/mm] $
> Aber iiwe ich jetzt auf das komme versteh ich nicht. Wieso minus?
Das heißt, daß die linke Seite *min*imiert werden soll.
ciao
Stefan
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Achso klar.
Und wie ist dass jetzt mit dem quadrieren von inneren produkten
<x - [mm] $\lambda$ [/mm] * y, x - [mm] $\lambda$ [/mm] * y>
quadrieren
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Blech |
> Und wie ist dass jetzt mit dem quadrieren von inneren produkten
> <x - $ [mm] \lambda [/mm] $ * y, x - $ [mm] \lambda [/mm] $ * y>
> quadrieren
Wie ist was mit dem quadrieren von inneren produkten quadrieren ist sein?
Könntest Du Deine Fragen nicht präziser stellen, von korrektem Deutsch red ich ja noch nichtmal?
Falls Du meinst: "warum kann ich die Differenz und Multiplikation mit dem Faktor [mm] $\lambda$ [/mm] aus dem Skalarprodukt ziehen"
Das ist die wiederholte Anwendung der Linearität des Inneren Produkts.
ciao
Stefan
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der Ausdruck (oben) wird ja quadriert ^2
Wie quadriert man den Ausdruck?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Do 27.10.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
quadrieren heisst doch einfach miteinander multiplizieren
<a+b,c>=<a,c>+<b,c>
und <a,b+c>=<a,b>+<a,c>
das sollte bekannt sein, dann kannst du auch <a+b,a+b>berechnen
und <x,y>0z ist ja einfach eine reelle Zahl z, die man quadrieren, durch die man dividieren usw kann. und statt z*z schreibt man [mm] z^2
[/mm]
Gruss leduart
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