Insektenlarven Poisson-vert. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Anzahl der Eier, die ein Insekt legt, sei Poisson-verteilt zum Parameter [mm] \lambda. [/mm] Aus jedem der sich unabhängig voneinander entwickelnden Eier schlüpfe mit Wahrscheinlichkeit p eine Larve. Berechnen Sie die Verteilung der Anzahl der Larven und interpretieren sie das Ergebnis. |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe steige ich überhaupt nicht durch und wollte euch um Denkanstöße bitten.
Wir haben die Poisson-Verteilung kennen gelernt als
[mm] \Omega [/mm] = [mm] \IN_{0}, [/mm] (Ergebnismenge)
$p(k) = [mm] \frac{\lambda^{k}}{k!}*e^{-\lambda}$, [/mm] wobei [mm] $k\in\Omega$ [/mm] und [mm] $\lambda [/mm] > 0$.
Ich komme ja nun auf den abstrusen Gedanken, dass wenn p(k) die Wahrscheinlichkeit darstellt, dass k Eier entstehen, ich das ganze nun noch mit [mm] p^{k} [/mm] multiplizieren muss, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, dass auch alle k Larven schlüpfen:
$s(k) = [mm] p(k)*p^{k} [/mm] = [mm] \frac{\lambda^{k}}{k!}*e^{-\lambda}*p^{k}$
[/mm]
Und nun denke ich mir, dass ich s(k) wieder in die "normale" Poisson-Form zurückführen muss:
$s(k) = [mm] \frac{\lambda^{k}}{k!}*e^{-\lambda}*p^{k}$
[/mm]
Im Moment wäre ja
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty}s(k) [/mm] = [mm] e^{\lambda*p}*e^{-\lambda} [/mm] = [mm] e^{\lambda*(p-1)}$, [/mm]
d.h. ich müsste s(k) durch [mm] e^{\lambda*(p-1)} [/mm] teilen, damit es wieder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist:
$s'(k) = [mm] \frac{\frac{\lambda^{k}}{k!}*e^{-\lambda}*p^{k}}{e^{\lambda*(p-1)}} [/mm] = [mm] \frac{(\lambda*p)^{k}}{k!}*e^{-\lambda*p}$
[/mm]
Ich habe bloß das Gefühl, damit nichts erreicht zu haben...
Was muss ich bei der Aufgabe machen?
Vielen Dank für Eure Mühe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Mo 26.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Stefan,
dein Ergebnis stimmt, aber ich durchschaue die Argumentation nicht. *Ich* hab's so erhalten: Sei $X_$ die Anzahl der Eier.
1) Bestimme die gemeinsame Wsk-Funktion von $(X,N)_$, also [mm] $P(X=k,N=n)=P(X=k\mid [/mm] N=n)$.
2) Bestimme die Randverteilung von $X_$, also [mm] $P(X=x)=\sum_{n=0}^\infty [/mm] P(X=k,N=n)$.
vg Luis
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Hallo luis52,
danke für deine Antwort. Da weiß ich zumindest schonmal das richtige Ergebnis  . Deine Vorgehensweise kann ich leider (noch) nicht nachvollziehen, da ich nur ganz elemenates Grundwissen in Stochastik habe (Anfang der Vorlesung). Ich habe aber mittlerweile eingesehen, dass meine obige Idee nicht das Wahre war.
Ich möchte einen neuen Vorschlag zur Herleitung der neuen Verteilung s(n) der geschlüpften Insekteneier machen:
$s(n) = [mm] \sum_{N=n}\left(\underbrace{\vektor{N\\n}*p^{n}*(1-p)^{N-n}}_{(*)} * \underbrace{\frac{\lambda^{N}}{n!}*e^{-\lambda}}_{(**)}\right)$
[/mm]
Der Formel basiert auf folgender Idee: Die Wahrscheinlichkeit, dass n Eier schlüpfen, also n Larven entstehen, ist die Summe über die Anzahl der Eier ab n über die Wahrscheinlichkeiten, dass dann bei der jeweiligen Anzahl der Eier genau n Larven schlüpfen.
Deswegen ist oben:
(*) = Wahrscheinlichkeit, dass aus N Eiern n Larven schlüpfen (mit Schlüpfwahrscheinlichkeit p)
(**) = Wahrscheinlichkeit, dass N Eier gelegt werden
Ist der Ansatz okay?
Man erhält letztendlich
$s(n) = [mm] \frac{(\lambda*p)^{n}}{n!}*e^{-\lambda*p}$.
[/mm]
In der Aufgabe heißt es, ich solle das Ergebnis interpretieren. Was mir jetzt dazu einfällt, wäre, dass also wieder eine Poisson-Verteilung herauskommt, allerdings jetzt mit dem Mittel [mm] \lambda*p. [/mm] Was könnte ich noch schreiben?
Danke für Eure Hilfe!!!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Mo 26.10.2009 | | Autor: | horst532 |
Wie hast du denn die Umformung gemacht von der rießen summe auf den doch recht knappen term für s(n) am ende?
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Hallo Horst532,
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
du hast die Aufgabe wohl auch
Nun, zum Einen musst du alle Faktoren, die unabhängig von der Summierung sind, herausziehen. So:
$ s(n) = \sum_{N=n}^{\infty}\left(\underbrace{\vektor{N\\n}\cdot{}p^{n}\cdot{}(1-p)^{N-n}}_{(\cdot{})} \cdot{} \underbrace{\frac{\lambda^{N}}{N!}\cdot{}e^{-\lambda}}_{(\cdot{}\cdot{})}\right) $
$=p^{n}*e^{-\lambda}*\sum_{N=n}^{\infty}\left(\vektor{N\\n}\cdot{}(1-p)^{N-n}} \cdot{} \frac{\lambda^{N}}{N!}\right) $
$=p^{n}*e^{-\lambda}*\sum_{N=n}^{\infty}\left(\frac{N!}{(N-n)!*n!}\cdot{}(1-p)^{N-n}} \cdot{} \frac{\lambda^{N}}{N!}\right) $
$=\frac{p^{n}}{n!}*e^{-\lambda}*\sum_{N=n}^{\infty}\left(\frac{1}{(N-n)!}\cdot{}(1-p)^{N-n}} \cdot{} \lambda^{N}\right) $
Nun noch ein Trick mit \lambda:
$=\frac{p^{n}}{n!}*e^{-\lambda}*\sum_{N=n}^{\infty}\left(\frac{1}{(N-n)!}\cdot{}(1-p)^{N-n}} \cdot{} \lambda^{N-n}*\lambda^{n}\right) $
$=\frac{p^{n}*\lambda^{n}}{n!}*e^{-\lambda}*\sum_{N=n}^{\infty}\left(\frac{1}{(N-n)!}\cdot{}(1-p)^{N-n}} \cdot{} \lambda^{N-n}\right) $
Und nun kannst du eine Indexverschiebung in der Summe durchführen von N = n nach N = 0:
$=\frac{p^{n}*\lambda^{n}}{n!}*e^{-\lambda}*\sum_{N=0}^{\infty}\left(\frac{1}{N!}\cdot{}(1-p)^{N}} \cdot{} \lambda^{N}\right) $
... Und dann lässt die Exponentialreihe grüßen 
Ich auch: Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Di 27.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Sauber! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
vg Luis
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Danke
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Di 27.10.2009 | | Autor: | luis52 |
> Ich möchte einen neuen Vorschlag zur Herleitung der neuen
> Verteilung s(n) der geschlüpften Insekteneier machen:
>
> [mm]s(n) = \sum_{N=n}\left(\underbrace{\vektor{N\\n}*p^{n}*(1-p)^{N-n}}_{(*)} * \underbrace{\frac{\lambda^{N}}{n!}*e^{-\lambda}}_{(**)}\right)[/mm]
>
> Der Formel basiert auf folgender Idee: Die
> Wahrscheinlichkeit, dass n Eier schlüpfen, also n Larven
> entstehen, ist die Summe über die Anzahl der Eier ab n
> über die Wahrscheinlichkeiten, dass dann bei der
> jeweiligen Anzahl der Eier genau n Larven schlüpfen.
> Deswegen ist oben:
>
> (*) = Wahrscheinlichkeit, dass aus N Eiern n Larven
> schlüpfen (mit Schlüpfwahrscheinlichkeit p)
> (**) = Wahrscheinlichkeit, dass N Eier gelegt werden
>
> Ist der Ansatz okay?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Man erhält letztendlich
>
> [mm]s(n) = \frac{(\lambda*p)^{n}}{n!}*e^{-\lambda*p}[/mm].
>
> In der Aufgabe heißt es, ich solle das Ergebnis
> interpretieren. Was mir jetzt dazu einfällt, wäre, dass
> also wieder eine Poisson-Verteilung herauskommt, allerdings
> jetzt mit dem Mittel [mm]\lambda*p.[/mm] Was könnte ich noch
> schreiben?
*Mir* reichts.
vg Luis
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Danke, luis52,
für deine Bestätigung
Grüße,
Stefan
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