Int. Aussagen beweis/widerl. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 So 09.02.2014 | | Autor: | OneTwo7 |
| Aufgabe | Begründen Sie folgende Aussagen oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.
(i) Sei F [mm] \subset \IR^3 [/mm] eine Fläche mit Randkurve [mm] \gamma [/mm] und das Vektorfeld [mm] \vec{v}: \IR^3 \to \IR^3 [/mm] habe ein Potential. Dann ist das Kurvenintegral von [mm] \vec{v} [/mm] entlang [mm] \gamma [/mm] null
(ii) Sei Sei F [mm] \subset \IR^3 [/mm] eine geschlossene Fläche und das Vektorfeld [mm] \vec{v} [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] habe ein Vektorpotential. dann ist das Flussintegral von [mm] \vec{v} [/mm] über F null.
(iii) Sei K = {(x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = 1, z [mm] \ge [/mm] 0 } und sei M die Rotationsfläche, welche entsteht wenn z = 5-5y mit y [mm] \in [/mm] [0,1] um die z-Achse rotiert. Ist [mm] \vec{v}: \IR^3 \to \IR^3 [/mm] ein stetig differenzierbares Vektorfeld, so stimmen die Flussintegrale von [mm] rot(\vec{v}) [/mm] über M und K überein. |
Zu (i) Ich glaube das stimmt, wenn die Fläche geschlossen ist, laut Wikipedia gilt jedenfalls "Das skalare Feld V ist dabei das Potential beziehungsweise die Potentielle Energie; diese ist gemäß der letzten Beziehung über einen geschlossenen Weg gleich Null." (Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral#Wegunabh.C3.A4ngigkeit).
Eine weitere Recherche ergab jedoch, dass trotz Potential auch Werte ungleich 0 rauskommen (Quelle: http://www.gutefrage.net/frage/kurvenintegral-und-potential).
Ist das mein Gegenbeispiel? Ich bin mir eig. sicher gehört zu haben, dass da eben 0 rauskommen soll.
Eine Erklärung warum die Aussage stimmt oder nicht wäre super!
(ii) Ist das Vektorpotential nicht irrelevant für das Flussintegral? Eine frühere Aufgabe in der man ein Flussintegral von [mm] rot(\vec{v}) [/mm] über einer Halbsphäre integriert war jedenfalls ungleich 0, eine Rotation ist ja ein Vektorpotential wenn ich mich recht entsinne, jedenfalls: Ist das immer so? Warum gilt das? Sonnst nehme ich einfach das als Gegenbeispiel
(iii): K ist eine Halbsphäre, M ist ein Kegel, warum sollten die Flussintegrale übereinstimmen? Ausser natürlich (ii) gilt, dann sind beide null...
Ansatz/Erklärung wäre super!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 So 09.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Rand einer Fläche ist immer eine geschlossene Kurve, in deinem Link geht es um einen nicht geschlossenen Weg. es ist nicht die Fläche geschlossen, nur der Rand, um den geht es.
zur Begründung was bedeutet es ein Potential zu haben?
ii) eine Halbsphäre ist keine geschlossene Fläche! überlege, was in deinem Bsp für die ganze Sphäre rauskäme.
iii) sieh dir mal die Randkurven der 2 Flächen an und den Satz von Stokes.
Gruß leduart
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