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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | [mm] $x(s)-\int_{0}^{1}2stx(t)dt=\sin(s\pi)$
[/mm]
[mm] $s\in[0,1]$ [/mm] |
Hallo an alle.
Kann mir einer die Lösung dieser DGL verraten? Also eine Lösungsfunktion $x(t)$, die die obige DGL löst. Diese Aufgabe steht im Buch "Funktionalanalysis" vom Springer-Verlag und kommt im Kapitel des Integraloperators vor.
Mich würde auch brennend interessieren, wie ich die Aufgabe mit Maple löse.
Ich danke euch für eure Antworten.
P.S.: Diese Frage wurde auf keiner anderen Internetseite und in keinem anderen Forum gestellt.
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[mm]s[/mm] kannst du vor das Integral ziehen - die Integration läuft ja über [mm]t[/mm]. Wenn der Strich die Differentiation nach [mm]s[/mm] bezeichnet, erhält man durch zweimaliges Ableiten:
[mm]x'' = - \pi^2 \sin{\left( \pi s \right)}[/mm]
Diese Gleichung kann durch zweimalige Integration gelöst werden. Die Integrationskonstanten sind noch geeignet zu bestimmen (durch Einsetzen von [mm]s=0[/mm] in die Integralgleichung bekommt man z.B. sofort [mm]x(0) = 0[/mm]).
Hier zur Kontrolle das Ergebnis:
[mm]x = \frac{6}{\pi} \, s + \sin{\left( \pi s \right)}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort. Habe sie durchgerechnet und fast alles verstanden. Meine Frage:
Wie kommt man auf das [mm] $\bruch{6}{\pi}$?
[/mm]
Ich danke nochmals für die Mühe.
Ciao Denny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Mi 15.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Lösungsfunktion hat die Form
[mm] x(s)=sin(s\pi)+Ks [/mm] mit einer unbekannten Konstante K
einsetzten der Lösung in die Integralgleichung ergibt
[mm] sin(s\pi)+Ks=2s\integral_{0}^{1}{t*(sin(t\pi)+Kt) dt}+sin(s\pi) [/mm] also
[mm] sin(s\pi)+Ks=2s(\br{1}{\pi}+K\br{1}{3})+sin(s\pi) [/mm] daraus kann man K berechnen
mfg ullim
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