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Hallo,
es soll gezeigt werden, dass der Flächeninhalt einer Ellipse [mm] A=\pi*a*b [/mm] beträgt.
Mein Ansatz:
[mm] y=\pm\bruch{b}{a}*\wurzel{a^2-x^2}
[/mm]
Als Integral:
[mm] 4*\pm\bruch{b}{a}*\integral_{0}^{a}{\wurzel{a^2-x}dx}
[/mm]
Leider finde ich hier keine geeignete Substitution... Hat jemand einen Tipp?
LG und besten Dank im Voraus...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Fr 14.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Hallo,
> es soll gezeigt werden, dass der Flächeninhalt einer
> Ellipse [mm]A=\pi*a*b[/mm] beträgt.
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]y=\pm\bruch{b}{a}*\wurzel{a^2-x^2}[/mm]
>
> Als Integral:
>
> [mm]4*\pm\bruch{b}{a}*\integral_{0}^{a}{\wurzel{a^2-x}dx}[/mm]
>
Das [mm] \pm [/mm] ist hier fehl am Platz, du betrachtest ja nur noch den Teil der Kurve, der im ersten Quadranten liegt, deshalb ja auch der Faktor 4.
> Leider finde ich hier keine geeignete Substitution... Hat
> jemand einen Tipp?
>
> LG und besten Dank im Voraus...
>
>
Am besten ziehst du zuerst einen Faktor a aus der Wurzel heraus, das gibt [mm] a*\wurzel{1-(\bruch{x}{a})^2}.
[/mm]
Dann substituierst du zuerst [mm] u=\bruch{x}{a}, [/mm] das ergibt [mm] \wurzel{1-u^2}.
[/mm]
Das Integral wird mit der Substitution sin(v)=u gelöst und führt auf ein Integral über [mm] cos^2(v). [/mm] Um das zu lösen muss entweder zweimal partiell integriert werden oder du benutzt das Additionstheorem [mm] cos(2v)=cos^2(v)-sin^2(v)=cos^2(v)-(1-cos^2(v)) [/mm] und löst das nach [mm] cos^2(v) [/mm] auf.
Vergiss nicht, bei den Integralen die Grenzen mit zu substituieren.
Gruß Sax.
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> Hi,
>
> > Hallo,
> > es soll gezeigt werden, dass der Flächeninhalt einer
> > Ellipse [mm]A=\pi*a*b[/mm] beträgt.
> >
> > Mein Ansatz:
> >
> > [mm]y=\pm\bruch{b}{a}*\wurzel{a^2-x^2}[/mm]
> >
> > Als Integral:
> >
> > [mm]4*\pm\bruch{b}{a}*\integral_{0}^{a}{\wurzel{a^2-x}dx}[/mm]
> >
>
> Das [mm]\pm[/mm] ist hier fehl am Platz, du betrachtest ja nur noch
> den Teil der Kurve, der im ersten Quadranten liegt, deshalb
> ja auch der Faktor 4.
>
> > Leider finde ich hier keine geeignete Substitution... Hat
> > jemand einen Tipp?
> >
> > LG und besten Dank im Voraus...
> >
> >
> Am besten ziehst du zuerst einen Faktor a aus der Wurzel
> heraus, das gibt [mm]a*\wurzel{1-(\bruch{x}{a})^2}.[/mm]
Interessant... Wie kann ich etwas aus einer Wurzel herausbekommen? Habe ich so noch nie gemacht...
LG
> Dann substituierst du zuerst [mm]u=\bruch{x}{a},[/mm] das ergibt
> [mm]\wurzel{1-u^2}.[/mm]
> Das Integral wird mit der Substitution sin(v)=u gelöst
> und führt auf ein Integral über [mm]cos^2(v).[/mm] Um das zu
> lösen muss entweder zweimal partiell integriert werden
> oder du benutzt das Additionstheorem
> [mm]cos(2v)=cos^2(v)-sin^2(v)=cos^2(v)-(1-cos^2(v))[/mm] und löst
> das nach [mm]cos^2(v)[/mm] auf.
>
> Vergiss nicht, bei den Integralen die Grenzen mit zu
> substituieren.
>
> Gruß Sax.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Fr 14.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
für nichtnegative Zahlen p und q gilt [mm] \sqrt{p^2*q}=\sqrt{p^2}*\wurzel{q}=p*\sqrt{q}.
[/mm]
Gruß Sax.
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So und jetzt kommen die richtigen Anfängerfragen... 
Wenn ich irgendetwas mit Quadrat sehe dann benutze ich meistens die quadratische Ergänzung... Ich habe mal gelesen dass man damit besser fährt als mit der p-q Formel. ..
Die p-q Formel ist mir also nicht mehr so geläufig...
Aber wofür steht eigentlich p und q?
LG und besten Dank im Voraus...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 Fr 14.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Es geht doch hier nicht um das Lösen einer quadratischen
Gleichung. Diese solltest du dir am Besten über ein Video
oder einer Seite angucken. Hier geht es nur um folgendes:
[mm] \wurzel{a^2-x^2}=\wurzel{a^2(1-\frac{x^2}{a^2})}=\wurzel{a^2}*\wurzel{1-\frac{x^2}{a^2}}=a*\wurzel{1-(\frac{x}{a})^2}
[/mm]
Gruß
DieAcht
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Hallo,
hier der neue Ansatz:
[mm] 4*b*\integral{\wurzel{1-(\bruch{x}{a})^2}dx}
[/mm]
Substitution :
[mm] u=\bruch{x}{a} \Rightarrow [/mm] dx=a*du
[mm] 4*b*\integral{\wurzel{1-(u)^2}a*du}
[/mm]
[mm] 4*a*b*\integral{\wurzel{1-(u)^2}du}
[/mm]
Substitution:
u=sin(v) [mm] \Rightarrow du=\bruch{dv}{cos(v)}
[/mm]
[mm] 4*a*b*\integral{\wurzel{1-(sin(v))^2}*\bruch{dv}{cos(v)}}
[/mm]
Additionstheorem:
[mm] 1=(sin(v))^2+(cos(v))^2
[/mm]
Eingesetzt:
[mm] 4*a*b*\integral{\wurzel{(cos (v))^2+(sin(v))^2-(sin(v))^2}*\br{dv}{cos(v)}}
[/mm]
[mm] 4*a*b*\integral{\wurzel{(cos(v))^2}*\br{dv}{cos(v)}}
[/mm]
[mm] 4*a*b*\integral{cos(v)*\br{dv}{cos(v)}}
[/mm]
[mm] 4*a*b*\integral{1*dv}
[/mm]
4*a*b*v
Rücksubstitution 1:
v=arcsin(u)
Rücksubstitution 2:
[mm] u=\bruch{x}{a}
[/mm]
Also:
[mm] 4*a*b*arcsin(\br{x}{a})
[/mm]
Jetzt habe ich das Stammintegral und kann das bestimmte Integral berechnen:
[mm] (4*a*b*arcsin(\br{a}{a}))-(4*a*b*arcsin(\br{0}{a}))
[/mm]
[mm] 2*a*b*\pi
[/mm]
Jetzt ist nur noch die 2 zuviel... Sieht jemand den Fehler?
LG und besten Dank im Voraus...
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Hallo,
> Hallo,
> hier der neue Ansatz:
>
> [mm]4*b*\integral{\wurzel{1-(\bruch{x}{a})^2}dx}[/mm]
>
> Substitution :
>
> [mm]u=\bruch{x}{a} \Rightarrow[/mm] dx=a*du
>
> [mm]4*b*\integral{\wurzel{1-(u)^2}a*du}[/mm]
>
> [mm]4*a*b*\integral{\wurzel{1-(u)^2}du}[/mm]
>
> Substitution:
>
> u=sin(v) [mm]\Rightarrow du=\bruch{dv}{cos(v)}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist [mm]\frac{du}{dv}=\cos(v)[/mm], also [mm]du \ = \ \cos(v) \ dv[/mm]
Den Rest schaue ich mir nicht mehr an, es entsteht, wie Sax schon schrieb, ein Integral [mm]\int{\cos^2(v) \ dv}[/mm] und nicht [mm]\int{1 \ dv}[/mm] ....
Schaue nochmal seine Antwort an ...
Gruß
schachuzipus
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> Hallo,
>
> > Hallo,
> > hier der neue Ansatz:
> >
> > [mm]4*b*\integral{\wurzel{1-(\bruch{x}{a})^2}dx}[/mm]
> >
> > Substitution :
> >
> > [mm]u=\bruch{x}{a} \Rightarrow[/mm] dx=a*du
> >
> > [mm]4*b*\integral{\wurzel{1-(u)^2}a*du}[/mm]
> >
> > [mm]4*a*b*\integral{\wurzel{1-(u)^2}du}[/mm]
> >
> > Substitution:
> >
> > u=sin(v) [mm]\Rightarrow du=\bruch{dv}{cos(v)}[/mm]
>
> Es ist [mm]\frac{du}{dv}=\cos(v)[/mm], also [mm]du \ = \ \cos(v) \ dv[/mm]
Bist Du Dir sicher?
sin (v) ist doch der Ersatz. Muss der nicht im Zähler stehen...
Also:
[mm] \br{dv}{du}=cos(v)
[/mm]
LG
>
> Den Rest schaue ich mir nicht mehr an, es entsteht, wie Sax
> schon schrieb, ein Integral [mm]\int{\cos^2(v) \ dv}[/mm] und nicht
> [mm]\int{1 \ dv}[/mm] ....
>
> Schaue nochmal seine Antwort an ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo sonic,
> > > hier der neue Ansatz:
> > >
> > > [mm]4*b*\integral{\wurzel{1-(\bruch{x}{a})^2}dx}[/mm]
> > >
> > > Substitution :
> > >
> > > [mm]u=\bruch{x}{a} \Rightarrow[/mm] dx=a*du
> > >
> > > [mm]4*b*\integral{\wurzel{1-(u)^2}a*du}[/mm]
> > >
> > > [mm]4*a*b*\integral{\wurzel{1-(u)^2}du}[/mm]
> > >
> > > Substitution:
> > >
> > > u=sin(v) [mm]\Rightarrow du=\bruch{dv}{cos(v)}[/mm]
> >
> > Es ist [mm]\frac{du}{dv}=\cos(v)[/mm], also [mm]du \ = \ \cos(v) \ dv[/mm]
>
> Bist Du Dir sicher?
>
> sin (v) ist doch der Ersatz. Muss der nicht im Zähler
> stehen...
> Also:
>
> [mm]\br{dv}{du}=cos(v)[/mm]
Ja, absolut sicher. Es ist hier nicht die Frage, was da substiuiert wird, sondern was Du ableitest. [mm] \sin{(v)} [/mm] ist eine Funktion von $v$ und wird nach [mm] \mathrm{dv} [/mm] abgeleitet.
Dein Differentialquotient stimmt also nicht. Der Tipp vorher war vollkommen richtig.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Fr 14.02.2014 | | Autor: | sonic5000 |
O.K. verstehe... Das war mir bisher noch nicht so klar...
LG
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O.K.
Also der dritte Versuch:
[mm] 4*a*b*\integral{(cos (v))^2dv)}
[/mm]
[mm] 4*a*b*\br{1}{2}(v+sin(v)*cos(v))
[/mm]
Rücksubstitution 1:
v=arcsin(u)
Rücksubstitution 2:
[mm] u=\bruch{x}{a}
[/mm]
Also:
[mm] v=arcsin(\br{x}{a})
[/mm]
[mm] 4*a*b*\br{1}{2}(arcsin\br{x}{a}+(\br{x}{a})^2)
[/mm]
Das sollte das Stammintegral sein. Bin ich hier richtig?
LG und besten Dank im Voraus...
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Hallo sonic5000,
> O.K.
> Also der dritte Versuch:
>
> [mm]4*a*b*\integral{(cos (v))^2dv)}[/mm]
>
> [mm]4*a*b*\br{1}{2}(v+sin(v)*cos(v))[/mm]
>
> Rücksubstitution 1:
>
> v=arcsin(u)
>
> Rücksubstitution 2:
>
> [mm]u=\bruch{x}{a}[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]v=arcsin(\br{x}{a})[/mm]
>
> [mm]4*a*b*\br{1}{2}(arcsin\br{x}{a}+(\br{x}{a})^2)[/mm]
>
> Das sollte das Stammintegral sein. Bin ich hier richtig?
>
Der erste Summand in der Klammer stimmt.
Den zweiten Summanden mußt Du nochmal nachrechnen.
> LG und besten Dank im Voraus...
>
Gruss
MatehPower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Fr 14.02.2014 | | Autor: | sonic5000 |
So jetzt aber:
[mm] 4*a*b*(\br{1}{2}*(arcsin\br{x}{a}+sin(arcsin(\br{x}{a}))*cos(arcsin(\br{x}{a}))
[/mm]
Endlich mal das Stammintegral Und jetzt das bestimmte Integral berechnen:
[mm] 4*a*b*(\br{1}{2}*(arcsin\br{a}{a}+0)
[/mm]
[mm] 4*a*b*(\br{1}{2}*(\br{1}{2}\pi)
[/mm]
[mm] a*b*\pi
[/mm]
Das war aber eine schwere Geburt...
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Fr 14.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> O.K.
> Also der dritte Versuch:
>
> [mm]4*a*b*\integral{(cos (v))^2dv)}[/mm]
>
> [mm]4*a*b*\br{1}{2}(v+sin(v)*cos(v))[/mm]
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Wenn du dieses Integral ohne Rechnung aus der Formelsammlung entnehmen darfst, dann entnimm doch gleich das allererste, oder noch besser: sofort den Flächeninhalt der Ellipse.
Gruß Sax.
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PQFormel