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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mi 16.04.2014 | | Autor: | Marie886 |
Hallo,
stehe erneut vor einem ungelösten Integral:
[mm] \integral dx/(x^2+3x+7)
[/mm]
mein Ansatz war folgender: Ich habe versucht den Nenner zu vereinfachen
[mm] x^2+3x+7=(x+1)*(x+2)+5
[/mm]
nun habe ich +5 herausgehoben:
5*[((x+1)*(x+2)/5)+1]
das Integral sieht nun so aus:
[mm] \integral1/5*[((x+1)*(x+2)/5)+1]dx=
[/mm]
[mm] 1/5\integral1/[((x+1)*(x+2)/5)+1]dx
[/mm]
Substituieren
mit dem Ziel im Ergebnis auf Arctan zu kommen bzw. um folgende Form zu erhalten: [mm] 1/(u^2+1)
[/mm]
u=(x+1)*(x+2)/5)
du/dx = 2x+3 --> dx= du/(2x+3)
dies setze ich nun im Integral ein:
[mm] 1/5\integral1/(u^2+1)*du/(2x+3) [/mm] und nun kommt mir das alles bissl spanisch vor
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Mi 16.04.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marie!
Dein Weg führt leider nicht zum Ziel.
Forme um wie folgt:
[mm] $\bruch{1}{x^2+3x+7} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^2+3x \ \blue{+1{,}5^2-1{,}5^2}+7} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(x+1{,}5)^2+4{,}75} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(x+\bruch{3}{2}\right)^2+\bruch{19}{4}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(x+\bruch{3}{2}\right)^2+\left(\bruch{\wurzel{19}}{2}\right)^2}$
[/mm]
Nun klammere entsprechend aus, um im Nenner auf [mm] $u^2+1$ [/mm] zu kommen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Mi 16.04.2014 | | Autor: | Marie886 |
dann von vorne:
[mm] \integral1/(x^2+3x+7)=
[/mm]
NR.: [mm] x^2+3x+7=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{19}{4}=(x+\frac{3}{2})^2+(\bruch{\wurzel{19}}{2})^2=\bruch{19}{4}*((\bruch{(x+\bruch{3}{2})^2 }{\bruch{19}{4} })+1)=\bruch{19}{4}*(\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{\wurzel19}{2} })^2+1= [/mm]
nun habe ich [mm] \bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{\wurzel19}{2} } [/mm] mit u substituiert
[mm] u=2*\bruch{(x+\bruch{3}{2})
}{\wurzel19}=\bruch{2x+3}{\wurzel19}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}= [/mm] 2 --> [mm] dx=\bruch{du}{2}
[/mm]
[mm] \integral\bruch{1}{(x+\bruch{3}{2})^2+\bruch{19}{4}}=\integral\bruch{1}{(x+\bruch{3}{2})^2+(\bruch{ \wurzel{19}}{2})^2}=\integral\bruch{1}{\bruch{19}{4}*((\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{19}{4} })^2+1)=
}=\integral \bruch{1}{ \bruch{19}{4}*[( \bruch{x+ \bruch{3}{2} }{ \bruch{ \wurzel{19}}{2} } )^2+1] }= \bruch{4}{19}*\integral \bruch{1}{u^2+1}*\bruch{du}{2}=
[/mm]
[mm] \bruch{4}{19}* \bruch{1}{2}* \bruch{1}{u^2+1}*du= \bruch{2}{19}* arctan(u)+c=\bruch{2}{19}*arctan (\bruch{2x+3}{ \wurzel{19} })
[/mm]
das ist nun mein Ergebnis!
Stimmt es?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 Mi 16.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo nochmal,
Mir ist noch etwas sehr wichtiges aufgefallen!
> NR.:
> [mm]x^2+3x+7=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{19}{4}=(x+\frac{3}{2})^2+(\bruch{\wurzel{19}}{2})^2=\bruch{19}{4}*((\bruch{(x+\bruch{3}{2})^2 }{\bruch{19}{4} })+1)=\bruch{19}{4}*(\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{\wurzel19}{2} })^2+1=[/mm]
Das Ende ist so nicht richtig. Am Ende muss folgendes stehen:
[mm] \bruch{19}{4}*\left(\left(\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{\wurzel19}{2}}\right)^2+1\right).
[/mm]
Die Klammer ist sehr wichtig. Mach dir das bitte klar!
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:59 Do 17.04.2014 | | Autor: | Marie886 |
Danke für die liebe Begrüßung, fühle mich sehr wohl bei euch hier im Forum und mir gefällt, dass hier so viele engagierte Leute mitarbeiten  !
mein neues Ergebnis:
[mm] \integral1/(x^2+3x+7)=
[/mm]
NR.: [mm] x^2+3x+7=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{19}{4}=(x+\frac{3}{2})^2+(\bruch{\wurzel{19}}{2})^2=\bruch{19}{4}*((\bruch{(x+\bruch{3}{2})^2 }{\bruch{19}{4} })+1)=\bruch{19}{4}*(\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{\wurzel19}{2} })^2+1= [/mm]
nun habe ich [mm] \bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{\wurzel19}{2} } [/mm] mit u substituiert
[mm] u=2*\bruch{(x+\bruch{3}{2})
}{\wurzel19}=\bruch{2x+3}{\wurzel19}=\bruch{1}{\wurzel{19}}*(2x+3)
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}= \bruch{1}{\wurzel{19} }*2= \bruch{2}{ \wurzel{19} } [/mm] --> [mm] dx=\bruch{du*\wurzel{19} }{2}
[/mm]
[mm] \integral\bruch{1}{(x+\bruch{3}{2})^2+\bruch{19}{4}}=\integral\bruch{1}{(x+\bruch{3}{2})^2+(\bruch{ \wurzel{19}}{2})^2}=\integral\bruch{1}{\bruch{19}{4}*(\bruch{(x+\bruch{3}{2})^2 }{\bruch{19}{4} }+1)=
}=\integral \bruch{1}{ \bruch{19}{4}*[( \bruch{x+ \bruch{3}{2} }{ \bruch{ \wurzel{19}}{2} } )^2+1] }= \bruch{4}{19}*\integral \bruch{1}{u^2+1}*\bruch{du* \wurzel{19} }{2}=
[/mm]
[mm] \bruch{4}{19}* \bruch{\wurzel{19} }{2}* \bruch{1}{u^2+1}*du= 2*\bruch{\wurzel{19} }{19}* \integral\bruch{1}{u^2+1}*du=2*\bruch{1}{\wurzel{19}}*arctan(u)= \bruch{2}{ \wurzel{19}}*arctan(\bruch{(x+\bruch{3}{2})}{\bruch{ \wurzel{19}}{2}})+c [/mm]
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Do 17.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die liebe Begrüßung, fühle mich sehr wohl bei
> euch hier im Forum und mir gefällt, dass hier so viele
> engagierte Leute mitarbeiten !
>
> mein neues Ergebnis:
>
> [mm]\integral1/(x^2+3x+7)=[/mm]
>
> NR.:
> [mm]x^2+3x+7=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{19}{4}=(x+\frac{3}{2})^2+(\bruch{\wurzel{19}}{2})^2=\bruch{19}{4}*((\bruch{(x+\bruch{3}{2})^2 }{\bruch{19}{4} })+1)=\bruch{19}{4}*(\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{\wurzel19}{2} })^2+1=[/mm]
>
> nun habe ich [mm]\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{\wurzel19}{2} }[/mm]
> mit u substituiert
>
> [mm]u=2*\bruch{(x+\bruch{3}{2})
}{\wurzel19}=\bruch{2x+3}{\wurzel19}=\bruch{1}{\wurzel{19}}*(2x+3)[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dx}= \bruch{1}{\wurzel{19} }*2= \bruch{2}{ \wurzel{19} }[/mm]
> --> [mm]dx=\bruch{du*\wurzel{19} }{2}[/mm]
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> [mm]\integral\bruch{1}{(x+\bruch{3}{2})^2+\bruch{19}{4}}=\integral\bruch{1}{(x+\bruch{3}{2})^2+(\bruch{ \wurzel{19}}{2})^2}=\integral\bruch{1}{\bruch{19}{4}*(\bruch{(x+\bruch{3}{2})^2 }{\bruch{19}{4} }+1)=
}=\integral \bruch{1}{ \bruch{19}{4}*[( \bruch{x+ \bruch{3}{2} }{ \bruch{ \wurzel{19}}{2} } )^2+1] }= \bruch{4}{19}*\integral \bruch{1}{u^2+1}*\bruch{du* \wurzel{19} }{2}=[/mm]
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> [mm]\bruch{4}{19}* \bruch{\wurzel{19} }{2}* \bruch{1}{u^2+1}*du= 2*\bruch{\wurzel{19} }{19}* \integral\bruch{1}{u^2+1}*du=2*\bruch{1}{\wurzel{19}}*arctan(u)= \bruch{2}{ \wurzel{19}}*arctan(\bruch{(x+\bruch{3}{2})}{\bruch{ \wurzel{19}}{2}})+c[/mm]
Das passt !
FRED
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> Liebe Grüße
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