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Integral: Integrieren
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 Di 13.01.2015
Autor: Schlumpf004

Aufgabe
Hi,

ich soll [mm] \integral_{0}^{4}( \bruch{1}{4}x^{2}+1)^\bruch{1}{2} [/mm] dx integrieren. Wenn die Funktionsgleichung linear wäre, könnte man ja einfach die Klammer integrieren ... oder wenn der Exponent oben nicht 0,5 wäre sondern 2 könnte man die Klammer auflösen... Aber so komme ich nicht weiter.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 Di 13.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Schlumpf004,

> Hi,
>  
> ich soll [mm]\integral_{0}^{4}( \bruch{1}{4}x^{2}+1)^\bruch{1}{2}[/mm]
> dx integrieren. Wenn die Funktionsgleichung linear wäre,
> könnte man ja einfach die Klammer integrieren ... oder
> wenn der Exponent oben nicht 0,5 wäre sondern 2 könnte
> man die Klammer auflösen... Aber so komme ich nicht
> weiter.


Probier es mit der Substitution [mm]x=2*\sinh\left(t\right)[/mm].
Dann ist [mm]dx=2*\cosh\left(t\right) \ dt[/mm].


>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruss
MathePower

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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 Di 13.01.2015
Autor: Schlumpf004

Das hat mir jemand auch gestern gesagt, nur ich verstehe nicht was heisst x= 2*cos(t)

Muss ich dann für x dann es einsetzen? Also 1/4*2cos(t)? Oder wie, ich lerne gerade alles wieder neu daher habe ich vieles vergessen...

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Bezug
Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 Di 13.01.2015
Autor: Schlumpf004

Ich habe es jetzt so verstanden...
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{4}x^{2}+1)^\bruch{1}{2} dx} [/mm]

x= 2*sin(t)
[mm] \bruch{dz}{dx}= [/mm]  2*cos (t)

Somit: [mm] \integral_{0}^{4}{\bruch{1}{4}*2*sin(t)+1 dx} [/mm]
[mm] \integral_{0}^{4}\bruch{1}{4}*z^{2}+1*\bruch{dz}{2*cos(t)} [/mm] und dann 1 kürzen weil [mm] cosh^2(t)= [/mm] 1 ist ?


Bezug
                                
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Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:39 Di 13.01.2015
Autor: Schlumpf004

Ich habe den Exponenten vergessen...

Bezug
                                
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Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Di 13.01.2015
Autor: MathePower

Hallo  Schlumpf004,

> Ich habe es jetzt so verstanden...
>  [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{4}x^{2}+1)^\bruch{1}{2} dx}[/mm]
>  
> x= 2*sin(t)
>  [mm]\bruch{dz}{dx}=[/mm]  2*cos (t)
>  
> Somit: [mm]\integral_{0}^{4}{\bruch{1}{4}*2*sin(t)+1 dx}[/mm]
>  
> [mm]\integral_{0}^{4}\bruch{1}{4}*z^{2}+1*\bruch{dz}{2*cos(t)}[/mm]
> und dann 1 kürzen weil [mm]cosh^2(t)=[/mm] 1 ist ?
>  


Das ist leider nicht ganz richtig.

Es ist [mm]x=2*\sinh\left(t\right), \ dx = 2*cosh\left(t\right) \ dt[/mm]

Mit der Substitution sind auch die Integralgrenzen zu substituieren.

Damit ist:

[mm]\integral_{a}^{b}{\left(\bruch{1}{4}x^{2}+1\right)^\bruch{1}{2} dx}=\integral_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}{\left(\bruch{1}{4}\left(2*\sinh\left(t\right)\right)^{2}+1\right)^\bruch{1}{2} \ 2*cosh\left(t\right) \ dt}[/mm]

Für die neuen Integralgrenzne gilt dann:

[mm]a=2*\sinh\left(\tilde{a}\right)[/mm]
[mm]b=2*\sinh\left(\tilde{b}\right)[/mm]


Gruss
MathePower

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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:39 Di 13.01.2015
Autor: Schlumpf004

Sieht jetzt richtig kompliziert aus... wie soll man jetzt das integrieren? :/

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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 Di 13.01.2015
Autor: Schlumpf004

Und warum haben sich jetzt denn die integralgrenzen geändert

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Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Di 13.01.2015
Autor: MathePower

Hallo   Schlumpf004,

> Und warum haben sich jetzt denn die integralgrenzen
> geändert


Weil substituiert wurde.


Gruss
MathePower

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Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Di 13.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Schlumpf004,

> Sieht jetzt richtig kompliziert aus... wie soll man jetzt
> das integrieren? :/


Erstmal zusammenfassen / vereinfachen.

Nutze dabei dies:

[mm]\cosh^{2}\left(t\right)-\sinh^{2}\left(t\right)=1[/mm]


Gruss
MathePower

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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Di 13.01.2015
Autor: Schlumpf004

Also ich habe es durch Whats App an 3 leute versendet und niemand wusste wie man das macht :/ könntest du vllt bisschen weiter machen sodass ich einmal sehe wie das geht...

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Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 Di 13.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Schlumpf004,



> Also ich habe es durch Whats App an 3 leute versendet und
> niemand wusste wie man das macht :/ könntest du vllt
> bisschen weiter machen sodass ich einmal sehe wie das
> geht...  


Wie was geht?

Den Integranden vereinfachen bzw. zusammenfassen?

[mm]\integral_{a}^{b}{\left(\bruch{1}{4}x^{2}+1\right)^\bruch{1}{2} dx}=\integral_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}{\left(\bruch{1}{4}\left(2\cdot{}\sinh\left(t\right)\right)^{2}+1\right)^\bruch{1}{2} \ 2\cdot{}cosh\left(t\right) \ dt}=\integral_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}{\left(\bruch{1}{4}*4\cdot{}\sinh^{2}\left(t\right)+1\right)^\bruch{1}{2} \ 2\cdot{}cosh\left(t\right) \ dt}[/mm]
[mm]=\integral_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}{\left(\sinh^{2}\left(t\right)+1\right)^\bruch{1}{2} \ 2\cdot{}cosh\left(t\right) \ dt}\integral_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}{\left(\cosh^{2}\left(t\right)\right)^\bruch{1}{2} \ 2\cdot{}cosh\left(t\right) \ dt}=\integral_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}{\cosh\left(t\right) * 2*\cosh\left(t\right) \ dt}[/mm]
[mm]=2*\integral_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}{\cosh^{2}\left(t\right)\ dt}[/mm]

Nun partielle Integration.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                        
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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:12 Di 13.01.2015
Autor: Schlumpf004

Ich hab jetzt was raus...

2* [mm] \integral_{a}^{b}{ cosh^2(x) dx} [/mm] = [mm] 2*(\bruch{1}{2}cosh(x)*sinh(x)+\bruch{1}{2}x) [/mm]

Ist das richtig und wie komme ich jetzt auf die neuen Integralgrenzen 2*sinh(a) hast du ja geschrieben wenn ich da jetzt 2*sinh(4) einsetze geht das ja nicht...

Bezug
                                                                                
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:39 Mi 14.01.2015
Autor: angela.h.b.


> Ich hab jetzt was raus...
>  
> 2* [mm]\integral_{a}^{b}{ cosh^2(x) dx}[/mm] =
> [mm]2*(\bruch{1}{2}cosh(x)*sinh(x)+\bruch{1}{2}x)[/mm]

Hallo,

richtig wäre

2* [mm]\integral_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}{ cosh^2(x) dx}[/mm] =
[ [mm]2*(\bruch{1}{2}cosh(x)*sinh(x)+\bruch{1}{2}x)[/mm][mm] ]_{\tilde{a}}^{\tilde{b}} [/mm]


>  
> Ist das richtig und wie komme ich jetzt auf die neuen
> Integralgrenzen
> 2*sinh(a) hast du ja geschrieben

Nein, das hat MathePower nicht geschrieben.

Er schrieb:

$ [mm] a=2\cdot{}\sinh\left(\tilde{a}\right) [/mm] $
$ [mm] b=2\cdot{}\sinh\left(\tilde{b}\right) [/mm] $.

Dabei sind a und b die Grenzen des ursprünglichen Integrals,

also

$ [mm] 0=2\cdot{}\sinh\left(\tilde{a}\right) [/mm] $ ==> [mm] \tilde{a}=arsinh(0)=0 [/mm]
$ [mm] 4=2\cdot{}\sinh\left(\tilde{b}\right) [/mm] $ ==> [mm] \tilde{b}=arsinh(2). [/mm]

Beim Einsetzen ist dann vielleicht noch nützlich:

[mm] cosh(arsinh(x))=\wurzel{x^2+1} [/mm]
[mm] arsinh(x)=ln(x+\wurzel{x^2+1}) [/mm]

LG Angela


> wenn ich
> da jetzt 2*sinh(4) einsetze geht das ja nicht...


Bezug
                                                                                        
Bezug
Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 Mi 14.01.2015
Autor: Schlumpf004

Also wenn ich die wurzelfunktion da so eingebe kommt bei mir 1 und 2,09 raus also die neuen integralgrenzen. Stimmt das? Weil sie haben da 0 raus.

Bezug
                                                                                                
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Mi 14.01.2015
Autor: fred97


> Also wenn ich die wurzelfunktion da so eingebe kommt bei
> mir 1 und 2,09 raus also die neuen integralgrenzen. Stimmt
> das? Weil sie haben da 0 raus.

????

Angela hat geschrieben:

$ [mm] \tilde{a}=arsinh(0) [/mm] $

$ [mm] \tilde{b}=arsinh(2). [/mm] $

Mit

   $ [mm] arsinh(x)=ln(x+\wurzel{x^2+1}) [/mm] $

folgt:

   [mm] \tilde{a}=0 [/mm]

und

   [mm] \tilde{b}=ln(2+\wurzel{5}). [/mm]

ganz ohne TR ! Lass die blöden Dezimalzahlen.

FRED


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:00 Mi 14.01.2015
Autor: Schlumpf004

Ok danke :)

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:02 Mi 14.01.2015
Autor: Schlumpf004

Meine integralgrenzen waren aber nicht 0 und 2 sondern 0 und 4

Bezug
                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Di 13.01.2015
Autor: MathePower

Hallo  Schlumpf004,

> Das hat mir jemand auch gestern gesagt, nur ich verstehe
> nicht was heisst x= 2*cos(t)
>  


Die Substitution lautet [mm]x=2*\sinh\left(t\right)[/mm]
und bedeutet: Ersetze x durch [mm]2*\sinh\left(t\right)[/mm]


> Muss ich dann für x dann es einsetzen? Also 1/4*2cos(t)?
> Oder wie, ich lerne gerade alles wieder neu daher habe ich
> vieles vergessen...  


Weiter ist [mm]dx=2*\cosh\left(t\right) \ dt[/mm] und bedeutet:
Ersetze das Differential dx durch das Differential [mm]2*\cosh\left(t\right) \ dt[/mm].
Damit wird der Integrand einfacher.


Gruss
MathePower

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