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| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \int_{0}^{2\pi} \frac{cos(3*x)}{5-4*cos(x)}dx [/mm] |
Zunächst betrachte ich ja
[mm] \int_{0}^{2\pi} \frac{cos(3*z)}{5-4*cos(z)}dz [/mm] und habe hierbei nach den Singularität gesucht, diese aber leider nicht gefunden, denn es müsste ja [mm] cos(z)=\frac{5}{4} [/mm] gelten, aber da cos(z) zwischen Minus 1 und 1 liegt, kann der Nenner nicht Null werden, oder?
Denn in der Aufgabe zuvor konnte man das unbestimmte Integral mithilfe der Residuen berechnen, aber in diesem Beispiel hier, weiß ich nicht, wie ich weiter machen soll. Hat jemand einen Tipp?
Liebe Grüße und vielen Dank schon einmal,
euer <3-blatt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Sa 02.07.2016 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, ich habe mal www.integralrechner.de gefragt, das Ding ist ja absolut fies, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Sa 02.07.2016 | | Autor: | Herzblatt |
warum? mit wolframalpha kriege ich [mm] 1/12*\pi [/mm] raus und das klingt ja eigentlich machbar.... kann man sich mit diesem Integralrechner auch die Schritte angucken die gemacht werden müssen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Sa 02.07.2016 | | Autor: | Infinit |
Hallo Herzblatt,
ich habe es nicht komplett durchgerechnet, aber ich glaube, man kommt im Komplexen durchaus weiter.
Ersetze im Integranden die Cosinusfunktionen durch die bekannten e-Funktionen, also
[mm] \cos (x) = \bruch{e^{ix}+e^{-ix}}{2} [/mm]
und setze dann
[mm] z = e^{ix} [/mm]
Damit wird die Strecke von 0 bis 2Pi auf den komplexen Einheitskreis abgebildet, Du hast einen geschlossenen Integrationsweg und kannst dann mit dem Residuensatz weiterarbeiten.
Probier es mal aus!
Viel Erfolg wünscht
Infinit
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> Hallo Herzblatt,
> ich habe es nicht komplett durchgerechnet, aber ich
> glaube, man kommt im Komplexen durchaus weiter.
> Ersetze im Integranden die Cosinusfunktionen durch die
> bekannten e-Funktionen, also
> [mm]\cos (x) = \bruch{e^{ix}+e^{-ix}}{2}[/mm]
> und setze dann
> [mm]z = e^{ix}[/mm]
> Damit wird die Strecke von 0 bis 2Pi auf den
> komplexen Einheitskreis abgebildet, Du hast einen
> geschlossenen Integrationsweg und kannst dann mit dem
> Residuensatz weiterarbeiten.
> Probier es mal aus!
> Viel Erfolg wünscht
> Infinit
Vielen Dank! Ich habe jetzt
[mm] \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{3ix}+e^{-3ix}}{10-4(e^{ix}+e^{-ix})}ie^{ix}
[/mm]
bzw.
[mm] \int_{0}^{2\pi} \frac{z^3+z^{-3}}{10-4(z+z^{-1})}dz
[/mm]
letzteres hat im Nenner die Singularitäten 2,5 0 und 0,5. Ich hatte in der vorherigen Aufgabe ein Integral mit uneigentlichen Grenzen und da konnte ich dann mein f(z) und g(z) bestimmen, denn die Voraussetzungen waren gegeben und das Residuum war dann einfach [mm] \frac{f(z)}{g'(z)} [/mm] usw. aber wie gehe ich hier jetzt weiter vor, wenn ich Grenzen habe?
Habe folgendes im Internet gefunden:
[mm] \int_{a}^{b} [/mm] R(z)dz [mm] =\sum_{k}Res \left( R(z)*log \left( \frac{z-b}{z-a}\right), z_k \right)
[/mm]
Bringt mich das weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 So 03.07.2016 | | Autor: | Herzblatt |
> > Hallo Herzblatt,
> > ich habe es nicht komplett durchgerechnet, aber ich
> > glaube, man kommt im Komplexen durchaus weiter.
> > Ersetze im Integranden die Cosinusfunktionen durch die
> > bekannten e-Funktionen, also
> > [mm]\cos (x) = \bruch{e^{ix}+e^{-ix}}{2}[/mm]
> > und setze
> dann
> > [mm]z = e^{ix}[/mm]
> > Damit wird die Strecke von 0 bis 2Pi
> auf den
> > komplexen Einheitskreis abgebildet, Du hast einen
> > geschlossenen Integrationsweg und kannst dann mit dem
> > Residuensatz weiterarbeiten.
> > Probier es mal aus!
> > Viel Erfolg wünscht
> > Infinit
>
> Vielen Dank! Ich habe jetzt
> [mm]\int_{0}^{2\pi} \frac{e^{3ix}+e^{-3ix}}{10-4(e^{ix}+e^{-ix})}ie^{ix}[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]\int_{0}^{2\pi} \frac{z^3+z^{-3}}{10-4(z+z^{-1})}dz[/mm]
>
> letzteres hat im Nenner die Singularitäten 2,5 0 und
> 0,5.
ich meinte natürlich, dass die Singularitäten bei 0.5, 2 und 0 liegen.
Ich hatte in der vorherigen Aufgabe ein Integral mit
> uneigentlichen Grenzen und da konnte ich dann mein f(z) und
> g(z) bestimmen, denn die Voraussetzungen waren gegeben und
> das Residuum war dann einfach [mm]\frac{f(z)}{g'(z)}[/mm] usw. aber
> wie gehe ich hier jetzt weiter vor, wenn ich Grenzen habe?
> Habe folgendes im Internet gefunden:
> [mm]\int_{a}^{b}[/mm] R(z)dz [mm]=\sum_{k}Res \left( R(z)*log \left( \frac{z-b}{z-a}\right), z_k \right)[/mm]
>
> Bringt mich das weiter?
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Mo 04.07.2016 | | Autor: | Infinit |
Hallo Herzblatt,
Du hast bei den Rechnungen nicht vergegenwärtigt, dass die Strecke von 0 bis 2Pi auf den Einheitskreis abgebildet wird. Und dieser ist geschlossen. Du musst also nur die Residuen aufaddieren für dijenigen Nennernullstellen, die im Einheitskreis liegen und das sind 0 und 0,5.
Viele Grüße,
Infinit
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> Hallo Herzblatt,
> Du hast bei den Rechnungen nicht vergegenwärtigt, dass
> die Strecke von 0 bis 2Pi auf den Einheitskreis abgebildet
> wird. Und dieser ist geschlossen. Du musst also nur die
> Residuen aufaddieren für dijenigen Nennernullstellen, die
> im Einheitskreis liegen und das sind 0 und 0,5.
> Viele Grüße,
> Infinit
Vielen Dank, da hast du recht. Mittlerweile habe ich auch rausgefunden, dass ich scheinbar auf die Funktion:
[mm] \frac{z^6+1}{z^3(z-2)(2z-1)}
[/mm]
kommen muss. Wenn ich allerdings cos(x)=0.5(e^ix+e^-ix) ausdrücke, dann z=e^ix setze und den Bruch schließlich mit [mm] z^3 [/mm] erweitere, komme ich auf
[mm] \frac{z^6+1}{10z^3-4z^4-4z^2}
[/mm]
Mein NEnner ist also nicht der gleiche wie bei der Lösung....
Wie komme ich also auf [mm] z^3(z-2)(2z-1)? [/mm] Klar, die Nullstellen sind die gleichen, aber erlaubt mir das, den Ausdruck so umzuschreiben?
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Für [mm]z = \operatorname{e}^{\operatorname{i}x}[/mm] mit [mm]x \in [0,2\pi][/mm] gilt: [mm]\cos x = \frac{1}{2} \left( \operatorname{e}^{\operatorname{i}x} + \operatorname{e}^{- \operatorname{i}x} \right) = \frac{1}{2} \left( z + z^{-1} \right)[/mm]
Und entsprechend: [mm]\cos(3x) = \frac{1}{2} \left( \operatorname{e}^{3 \operatorname{i}x} + \operatorname{e}^{-3 \operatorname{i}x} \right) = \frac{1}{2} \left( z^3 + z^{-3} \right)[/mm]
Jetzt setzt man
[mm]\frac{\frac{1}{2} \left( z^3 + z^{-3} \right)}{\operatorname{i} z \cdot \left( 5 - 4 \cdot \frac{1}{2} \left( z + z^{-1} \right) \right)} ~ \mathrm{d}z[/mm]
an. Der Faktor [mm]\operatorname{i} z[/mm] im Nenner erklärt sich, wenn man [mm]z = \operatorname{e}^{ix}, \ x \in [0,2\pi][/mm] parametrisiert. Dann kürzt er sich gerade weg, und es entsteht das zu berechnende reelle Integral. Jetzt den Bruch mit [mm]z^3[/mm] erweitern. Man erhält
[mm]\frac{- \operatorname{i} \cdot \left( z^6 + 1 \right)}{2z^3 \left( -2z^2 + 5z - 2 \right)} ~ \mathrm{d}z = \frac{\operatorname{i} \left( z^6 + 1 \right)}{4z^3 \left( z-2 \right) \left( z - \frac{1}{2} \right)} ~ \mathrm{d}z[/mm]
Jetzt kann man den Residuensatz anwenden:
[mm]\int_0^{2\pi} \frac{\cos(3x)}{5 - 4 \cos(x)} ~ \mathrm{d}x = \int_{|z|=1} \frac{\operatorname{i} \left( z^6 + 1 \right)}{4z^3 \left( z-2 \right) \left( z - \frac{1}{2} \right)} ~ \mathrm{d}z[/mm]
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