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| Aufgabe | | Ich habe jetzt länger an einem bsp gerechnet und am schluss blieb dieses integral stehen: [mm] int(sqrt(a^2-u^2), [/mm] u). |
ich weiß zwar dass [mm] (1/2)*u*sqrt(a^2-u^2)+(1/2)*a^2*arctan(u/sqrt(a^2-u^2)) [/mm] die lösung ist nur kann ich es leider nicht nach vollziehen!
Bitte um einen Tipp wie ich das genau lösen kann!!!
lg
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> Ich habe jetzt länger an einem bsp gerechnet und am schluss
> blieb dieses integral stehen: [mm]int(sqrt(a^2-u^2),[/mm] u).
Hallo,
wenn wir Dir helfen sollen, wäre es sinnvoll, würdest Du das Integral in Zustand versetzen, unter dem man sich etwas vorstellen kann.
Verwende den Formeleditor, Eingabehilfen findest Du auch unterhalb des Eingabefensters.
Es könnte auch sinnvoll sein, wenn Du das Startintegral und durchgeführte Manöver (wie Substitutionen ) mit angibst.
Gruß v. Angela
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also gegeben war:
[mm] \integral_{0}^{a}{x*\wurzel{\bruch{a-x}{x+a}} dx}
[/mm]
da hab ich dann erweitert im bruch mit (a+x).
dann habe ich [mm] a^2-x^2=u^2 [/mm] substituiert und er halte nach kürzen das integral:
[mm] \integral_{a}^{0}{(\wurzel{a^2-u^2} - u )du}
[/mm]
und genau bei diesem term hänge ich fest. ich weiß aber dass die rechnung bis hier her stimmen sollte. da mit dem integral das maple errechnet dann am schluss die richtige lösung heraus kommt. ich sehe nur nicht wie ich da integrieren soll!
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> also gegeben war:
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> [mm]\integral_{0}^{a}{x*\wurzel{\bruch{a-x}{x+a}} dx}[/mm]
>
> da hab ich dann erweitert im bruch mit (a+x).
>
> dann habe ich [mm]a^2-x^2=u^2[/mm] substituiert und er halte nach
> kürzen das integral:
>
> [mm]\integral_{a}^{0}{(\wurzel{a^2-u^2} - u )du}[/mm]
Hallo,
wenn ich so substituiere, wie Du sagst, erhalte ich
[mm] \integral_{a}^{0}{(\wurzel{a^2-u^2} - \red{a} )du}, [/mm] vielleicht prüfst Du das nochmal.
(Kann durchaus sein, daß ich mich verrechnet habe.)
Die nächste Aufgabe ist ja jetzt das Integral [mm] \integral_{a}^{0}{\wurzel{a^2-u^2}}du =\integral_{a}^{0}{a\wurzel{1-(\bruch{u}{a})^2}}du,
[/mm]
und hier würde ich es mit [mm] \bruch{u}{a}=sin(t) [/mm] versuchen.
Gruß v. Angela
>
> und genau bei diesem term hänge ich fest. ich weiß aber
> dass die rechnung bis hier her stimmen sollte. da mit dem
> integral das maple errechnet dann am schluss die richtige
> lösung heraus kommt. ich sehe nur nicht wie ich da
> integrieren soll!
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der fehler mit dem a und u am schluss war ein abschreibfehler.
was mir an der variante nicht so gefällt ist. dass ich dann nicht mehr abschätzen kann. weil a eine feste zahl ist und so dann nichts mehr rauskommt.
irgendwie wäre es schon cool den arctan reinzubekommen wie maple :)
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> der fehler mit dem a und u am schluss war ein
> abschreibfehler.
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> was mir an der variante nicht so gefällt
Funktioniert sie denn?
> ist. dass ich dann
> nicht mehr abschätzen kann. weil a eine feste zahl ist und
> so dann nichts mehr rauskommt.
???
Ich versteh's nicht...
> irgendwie wäre es schon cool den arctan reinzubekommen wie
> maple :)
Naja, mezzo-cool ist's doch jetzt auch: immerhin hast Du sin drin...
Und es ist ja
[mm] \sin [/mm] x = [mm] \frac{ \tan x }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } } [/mm] für [mm] x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right] =[0^\circ,90^\circ] \cup [270^\circ, 360^\circ]
[/mm]
[mm] \sin [/mm] x = - [mm] \frac{ \tan x }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } } [/mm] für x [mm] \in \left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right]=[90^\circ,270^\circ]
[/mm]
bzw.
[mm] \tan [/mm] x = [mm] \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 1 - \sin^2 x } } [/mm] für [mm] x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right] =[0^\circ,90^\circ]\cup [270^\circ,360^\circ]
[/mm]
[mm] \tan [/mm] x = - [mm] \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 1 - \sin^2 x } } [/mm] für [mm] x\in \left[ \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2} \right]=[90^\circ,270^\circ].
[/mm]
Zusammenhänge gibt's also irgendwie...
Gruß v. Angela
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es geht schon. nur kommen da jede menge sinus und cosinus raus und es muss doch möglich auf die lösung von maple zu kommen.
die sieht so scön einfach aus:
[mm] (1/2)*u*\wurzel{a^2-u^2}+(1/2)*a^2*arctan(\bruch{u}{\wurzel{a^2-u^2}}
[/mm]
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> es geht schon. nur kommen da jede menge sinus und cosinus
> raus und es muss doch möglich auf die lösung von maple zu
> kommen.
> die sieht so scön einfach aus:
>
> [mm](1/2)*u*\wurzel{a^2-u^2}+(1/2)*a^2*arctan(\bruch{u}{\wurzel{a^2-u^2}}[/mm]
>
Hallo,
vielleicht machst Du irgendetwas falsch, bei mir kann von "jeder Menge" sin und cos nicht die Rede sein, und ich kann mein Ergebnis in Dein Maple-Ergebnis umwandeln.
$ [mm] \integral{\wurzel{a^2-u^2}}du =\integral{a\wurzel{1-(\bruch{u}{a})^2}}du$
[/mm]
Substitution $ [mm] \bruch{u}{a}=sin(t) [/mm] $ ergibt
[mm] ...=\integral{a\wurzel{1-(\bruch{u}{a})^2}}du=a^2\integral{cos^2t dt}=\bruch{a^2}{2}(t+cos(t)sin(t))
[/mm]
Rücksubsttuiert:
[mm] ...=\bruch{a^2}{2}(arcsin(\bruch{u}{a})+cos(arcsin(\bruch{u}{a}))sin(arcsin(\bruch{u}{a})))
[/mm]
[mm] =\bruch{a^2}{2}(arcsin(\bruch{u}{a})+\bruch{u}{a}cos(arcsin(\bruch{u}{a}))
[/mm]
Nun die Formelsammlung: [mm] \sin [/mm] ( [mm] \arccos [/mm] x) = [mm] \cos [/mm] ( [mm] \arcsin [/mm] x) = [mm] \sqrt{1 - x^2} [/mm]
[mm] \tan [/mm] ( [mm] \arcsin [/mm] x) = [mm] \frac{x}{ \sqrt{1 - x^2} } [/mm] ==> [mm] \arcsin [/mm] x= [mm] \arctan\frac{x}{ \sqrt{1 - x^2} }, [/mm] das ergibt
[mm] ...=\bruch{a^2}{2}(\arctan\frac{\bruch{u}{a}}{ \sqrt{1 - (\bruch{u}{a})^2} }+\bruch{u}{a} \sqrt{1 - (\bruch{u}{a})^2} [/mm] )
[mm] =\bruch{a^2}{2}(\arctan\frac{u}{ \sqrt{a^2 - u^2} }+\bruch{u}{a^2} \sqrt{a^2 - u^2} [/mm] )
[mm] =\bruch{a^2}{2}\arctan\frac{u}{ \sqrt{a^2 - u^2} }+\bruch{u}{2} \sqrt{a^2 - u^2}
[/mm]
Gruß v. Angela
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