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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:34 Fr 10.07.2009 | | Autor: | equity |
| Aufgabe | | [mm] \int x*arctan(x)\,dx [/mm] |
Hallo :)
Ich versuche schon seit einer Stunde auf diese Lösung zu kommen, natürlich mit partieller Integration, aber es will einfach nicht klappen.
Die Lösung soll so aussehen:
[mm] [\frac{-x+(1+x^2)*arctan(x)}{2}+c]
[/mm]
Irgendwie schaffe ich es, dass da gar nichts rauskommt, also null, aber das stimmt ja nicht.
Kann mir jemand helfen?
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Hallo equity,
> [mm]\int x*arctan(x)\,dx[/mm]
> Hallo :)
>
> Ich versuche schon seit einer Stunde auf diese Lösung zu
> kommen, natürlich mit partieller Integration, aber es will
> einfach nicht klappen.
>
> Die Lösung soll so aussehen:
>
> [mm][\frac{-x+(1+x^2)*arctan(x)}{2}+c][/mm]
>
> Irgendwie schaffe ich es, dass da gar nichts rauskommt,
> also null, aber das stimmt ja nicht.
Wieso postest du nicht deinen Ansatz/Versuch?
Vielleicht steckt ja schon das Richtige drin und du hast nur nen kleinen Fehler.
Wieso erwartest du, dass wir das komplett selber rechnen sollen?
Naja, partielle Integration ist genau der richtige Ansatz:
Mit $u'(x)=x$ und [mm] $v(x)=\arctan(x)$ [/mm] ist
[mm] $\int{x\cdot{}\arctan(x) \ dx}=\frac{1}{2}x^2\cdot{}\arctan(x) [/mm] \ - \ [mm] \int{\frac{1}{2}x^2\cdot{}\frac{1}{x^2+1} \ dx}$
[/mm]
[mm] $=\frac{x^2\cdot{}\arctan(x)}{2}-\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{x^2}{x^2+1} \ dx}$
[/mm]
[mm] $=\frac{x^2\cdot{}\arctan(x)}{2}-\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{x^2\red{+1-1}}{x^2+1} \ dx}$
[/mm]
[mm] $=\frac{x^2\cdot{}\arctan(x)}{2}-\frac{1}{2}\cdot{}\int{\left(1-\frac{1}{x^2+1}\right) \ dx}$
[/mm]
[mm] $=\frac{x^2\cdot{}\arctan(x)}{2}-\frac{1}{2}\cdot{}\int{1 \ dx}+\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{1}{x^2+1} \ dx}$
[/mm]
Den Rest lasse ich für dich ...
>
> Kann mir jemand helfen?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:19 Fr 10.07.2009 | | Autor: | equity |
Ja auf dieses hier wäre ich nie gekommen:
$ [mm] =\frac{x^2\cdot{}\arctan(x)}{2}-\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{x^2\red{+1-1}}{x^2+1} \ dx} [/mm] $
Ich habe versucht, die Partielle Integration immer weiter einzusetzen an dieser Stelle :(
Vielen Dank!
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