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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 So 19.07.2009 | | Autor: | mausieux |
| Aufgabe | Was ist falsch an folgender Rechnung? Zeige, dass das uneigentliche Integral nicht existiert.
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{1+2x}{1+x^2}dx [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} \integral_{-b}^{b}\bruch{1+2x}{1+x^2}dx [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}[arctan(x)+ln(1+x^2)](in [/mm] den Grenzen von -b nach b) = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}(2arctan(b)) [/mm] = pi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo André,
> Was ist falsch an folgender Rechnung? Zeige, dass das
> uneigentliche Integral nicht existiert.
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> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{1+2x}{1+x^2}dx[/mm] =
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty} \integral_{-b}^{b}\bruch{1+2x}{1+x^2}dx[/mm]
> = [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}[arctan(x)+ln(1+x^2)](in[/mm] den
> Grenzen von -b nach b) =
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}(2arctan(b))[/mm] = pi
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Nun, es ist vielmehr [mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\frac{1+x}{1+x^2} \ dx}=\lim\limits_{a\to \infty}\lim\limits_{b\to\infty}\int\limits_{-b}^{a}{\frac{1+x}{1+x^2} \ dx}$
[/mm]
Und das liefert einen unbestimmten Ausdruck [mm] $\infty-\infty$ [/mm] ...
Das zeigt, dass die obige Rechnung falsch ist.
Bleibt noch die Nicht-Existenz des Integrals zu zeigen ..
LG
schachuzipus
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