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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Fr 05.03.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Berechne das Integral [mm] \integral_{}^{}{cos(x)*(1+sin(x)) dx} [/mm] |
Hallo zusammen^^
Ich habe dieses Integral berechnet,unzwar auf zwei verschiedenen Wegen,aber bei beiden kommt was verschiedenes raus und ich finde den Fehler nicht.Kann das bitte jemand nachschauen?
1.Weg: durch die Substitution z=1+sin(x),dann hab ich
[mm] \integral_{}^{}{cos(x)*z*\bruch{dz}{cos(x)}}=\integral_{}^{}{z dz}=0.5z^{2.5}.
[/mm]
Durch Rücksubstitution erhalte ich somit [mm] F(x)=0.5*(1+sin(x))^{2.5}.
[/mm]
Jetzt kommt der 2.Weg:
Ich löse die Klammern auf,also
[mm] \integral_{}^{}{cos(x)*(1+sin(x)) dx}=\integral_{}^{}{cos(x)+cos(x)*sin(x) dx}=\integral_{}^{}{cos(x) dx}+\integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}.
[/mm]
Dann ist 1. [mm] \integral_{}^{}{cos(x) dx}=sin(x)
[/mm]
und 2. [mm] \integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}
[/mm]
Das löse ich mit partieller Integration,unzwar u'=cos(x) und v=sin(x).Somit ist
[mm] \integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}=[sin(x)*sin(x)]-\integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}
[/mm]
[mm] 2*\integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}=[sin(x)*sin(x)]
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}=0.5*[sin(x)*sin(x)]
[/mm]
Daraus folgt: F(x)=sin(x)+0.5*[sin(x)*sin(x)]
Das ist aber nicht das gleiche wie oben denn hier fehlt mir der Summand 0.5.
Wo liegt der Fehler?
Vielen Dank
lg
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Hallo,
> Berechne das Integral [mm]\integral_{}^{}{cos(x)*(1+sin(x)) dx}[/mm]
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> Hallo zusammen^^
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> Ich habe dieses Integral berechnet,unzwar auf zwei
> verschiedenen Wegen,aber bei beiden kommt was verschiedenes
> raus und ich finde den Fehler nicht.Kann das bitte jemand
> nachschauen?
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> 1.Weg: durch die Substitution z=1+sin(x),dann hab ich
>
> [mm]\integral_{}^{}{cos(x)*z*\bruch{dz}{cos(x)}}=\integral_{}^{}{z dz}=0.5z^{2.5}.[/mm]
>
> Durch Rücksubstitution erhalte ich somit
> [mm]F(x)=0.5*(1+sin(x))^{2.5}.[/mm]
>
> Jetzt kommt der 2.Weg:
>
> Ich löse die Klammern auf,also
>
> [mm]\integral_{}^{}{cos(x)*(1+sin(x)) dx}=\integral_{}^{}{cos(x)+cos(x)*sin(x) dx}=\integral_{}^{}{cos(x) dx}+\integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}.[/mm]
>
> Dann ist 1. [mm]\integral_{}^{}{cos(x) dx}=sin(x)[/mm]
>
> und 2. [mm]\integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}[/mm]
> Das löse ich mit
> partieller Integration,unzwar u'=cos(x) und v=sin(x).Somit
> ist
> [mm]\integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}=[sin(x)*sin(x)]-\integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}[/mm]
>
> [mm]2*\integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}=[sin(x)*sin(x)][/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}=0.5*[sin(x)*sin(x)][/mm]
>
> Daraus folgt: F(x)=sin(x)+0.5*[sin(x)*sin(x)]
>
> Das ist aber nicht das gleiche wie oben denn hier fehlt mir
> der Summand 0.5.
>
> Wo liegt der Fehler?
Nirgendwo. Du hast völlig richtig gerechnet, bei beiden Wegen.
Durch deine verschiedenen Integrationswege hast du zwei verschiedene Stammfunktionen von $f(x) = [mm] \cos(x)*(1+\sin(x))$ [/mm] berechnet.
Das ist möglich, denn wenn F eine Stammfunktion von f ist, dann ist auch F+c, also F plus eine beliebige Konstante [mm] c\in\IR [/mm] eine Stammfunktion von f.
Deine Stammfunktionen unterscheiden sich jeweils doch nur um eine Konstante, also ist alles in bester Ordnung.
Vergiss nicht: Würdest du jetzt beide ableiten, fällt diese (fehlende oder vorhandene) Konstante sowieso weg.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Fr 05.03.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Ach stimmt ja,ok gut.Vielen Dank nochmal =)
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Hallo,
[mm] \integral_{}^{}{z dz}=0.5z^{2.5}.[/mm]
[/mm]
>
Das stimmt doch nicht! Richtig muss es [mm] 0,5z^2 [/mm] heissen. Dementsprechend [mm] 0,5(1+sin(x))^{2}
[/mm]
Ansonsten sind beide Lösungswege richtig wie schon geschrieben.
Und jetzt ist: [mm] 0,5*(1+sin(x))^{2}=0,5*(1+2sin(x)+sin^2(x))=0,5+sin(x)+0,5sin^2(x)=sin(x)+0,5(sin(x)*sin(x))
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Fr 05.03.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
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> [mm]\integral_{}^{}{z dz}=0.5z^{2.5}.[/mm][/mm]
> >
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> Das stimmt doch nicht! Richtig muss es [mm]0,5z^2[/mm] heissen.
> Dementsprechend [mm]0,5(1+sin(x))^{2}[/mm]
>
> Ansonsten sind beide Lösungswege richtig wie schon
> geschrieben.
>
> Und jetzt ist:
> [mm]0,5*(1+sin(x))^{2}=0,5*(1+2sin(x)+sin^2(x))=0,5+sin(x)+0,5sin^2(x)=sin(x)+0,5(sin(x)*sin(x))[/mm]
>
>
Ja da hast du recht,das war aber nur ein Tippfehler =)
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> Berechne das Integral [mm]\integral_{}^{}{cos(x)*(1+sin(x)) dx}[/mm]
Tipp:
[mm]\integral_{}^{}{\cos(x)*(1+\sin(x)) \mathrm{d}\,x} = \integral_{}^{} (\cos(x) + \cos(x)\sin(x) ) \mathrm{d}\,x = \integral_{}^{} (\cos(x) + \frac 12\,\sin(2\,x)) \mathrm{d}\,x [/mm]
Und die partielle Integration entfällt ersatzlos.
Gruß
mathemak
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