Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Do 19.05.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo,
ich hab mal eine kleine Frage:
Ich soll überprüfen ob folgendes Integral existiert.
[mm] \integral_{1}^{\infty} {\bruch{1}{x*\wurzel{x-1}}*dx}=\limes_{b\rightarrow\infty}2arctan(\wurzel{b-1})=\pi
[/mm]
Ich habe die Rechnung weggelassen , weil die habe ich verstanden. Ich versteh nur nicht , wenn man [mm] b\to\infty [/mm] gehen lässt , das dann [mm] \pi [/mm] am Ende rauskommt. Ist bestimmt ganz leicht.
Vielen Dank für eure Antworten
Gruß Fabian
|
|
| |
|
Hallo!
Es gilt: [mm] $\arctan{x}\to\bruch{\pi}{2}$ [/mm] mit [mm] $x\to\infty$.
[/mm]
Warum das so ist, kann man sich so klar machen: Der Arcustangens ist ja die Umkehrfunktion des Tangens. Und wegen [mm] $\tan(x)=\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}$ [/mm] gilt [mm] $\lim_{x\nearrow\frac{\pi}{2}}\tan(x)=\infty$, [/mm] weil der Sinus gegen 1 geht und der Cosinus gegen 0. Also geht der Arcustangens mit [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $\bruch{\pi}{2}$...
[/mm]
Hoffe, dass dir das weiterhilft...
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Do 19.05.2005 | | Autor: | Fabian |
> Hallo!
>
> Es gilt: [mm]\arctan{x}\to\bruch{\pi}{2}[/mm] mit [mm]x\to\infty[/mm].
> Warum das so ist, kann man sich so klar machen: Der
> Arcustangens ist ja die Umkehrfunktion des Tangens. Und
> wegen [mm]\tan(x)=\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}[/mm] gilt
> [mm]\lim_{x\nearrow\frac{\pi}{2}}\tan(x)=\infty[/mm], weil der Sinus
> gegen 1 geht und der Cosinus gegen 0. Also geht der
> Arcustangens mit [mm]x\to\infty[/mm] gegen [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]...
>
> Hoffe, dass dir das weiterhilft...
Das hilft mir bestimmt weiter. Jetzt ist es mir klar. Danke für deine Antwort!
Gruß Fabian
|
|
|
|
