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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Mi 30.03.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgendes Integral:
[mm] \integral {\bruch{2x + 1}{(x^{2}+4x+8)^{3}} dx} [/mm] |
könnte mir bitte jemand helfen dies zu vereinfachen und einen ansatz zum integrieren zu finden?
lg mark
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Hallo Mark,
> Berechnen Sie folgendes Integral:
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> [mm]\integral {\bruch{2x + 1}{(x^{2}+4x+8)^{3}} dx}[/mm]
> könnte
> mir bitte jemand helfen dies zu vereinfachen und einen
> ansatz zum integrieren zu finden?
Das ist ein harter Brocken ...
Ich würde beginnen, den Zähler zu schreiben als
$2x+4-3$
Dann hast du [mm] $\int{\frac{2x+4}{(x^2+4x+8)^3} \ dx} [/mm] \ - \ [mm] 3\int{\frac{1}{(x^2+4x+8)^3} \ dx}$
[/mm]
Das erste ist nicht schwierig, da steht im Zähler die Ableitung des Nenners (ohne Exponenten), substituiere also [mm] $u=x^2+4x+8$ [/mm] ...
Das hintere ist "tricky"
Da hilft wohl erstmal eine quadratische Ergänzung in der Klammer des Nenners ...
>
> lg mark
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Do 31.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mark!
Die ersten zwei Schritte hat dir schachuzipus ja erklärt. Nach der Substitution $x=2z-2$ bleibt das Integral
[mm] \integral \bruch{1}{(z^2+1)^3} dz [/mm],
das du folgendermaßen mit partieller Integration angehen kannst. [mm] u'= \bruch{z}{(z^2+1)^3} [/mm], [mm] v= \bruch{1}{z} [/mm] ergibt
[mm] \integral \bruch{1}{(z^2+1)^3} dz = -\bruch{1}{4z} \bruch{1}{(z^2+1)^2} -\bruch{1}{4} \integral \bruch{1}{z^2(z^2+1)^2} dz [/mm] .
Das Integral rechts vereinfachst du mit Partialbruchzerlegung und wendest den Trick noch einmal an.
Viele Grüße
Rainer
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